[論文レビュー] Strings from dynamical noncommutative space-time

Andreas Fring, Laure Gouba+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元空間的次元における位置依存非可換時空関係の新しいクラスを提案し、Dyson写像と新しい計量を用いて物理的であるとされる非ヒルベルト変数を導入する。一般化された不確定性原理から最小長および最小運動量スケールを導出し、この空間内ではすべての物体が根本的にストリング状で、不変長スケールを有すると示す。また、この枠組みの中で自由粒子や調和振動子などのモデルを構築し、解を求める。

ABSTRACT

We introduce a new set of noncommutative space-time commutation relations in two space dimensions. The space-space commutation relations are deformations of the standard flat noncommutative space-time relations taken here to have position dependent structure constants. Some of the new variables are non-Hermitian in the most natural choice. We construct their Hermitian counterparts by means of a Dyson map, which also serves to introduce a new metric operator. We propose PTlike symmetries, i.e.antilinear involutory maps, respected by these deformations. We compute minimal lengths and momenta arising in this space from generalized versions of Heisenberg's uncertainty relations and find that any object in this two dimensional space is string like, i.e.having a fundamental length in one direction beyond which a resolution is impossible. Subsequently we formulate and partly solve some simple models in these new variables, the free particle, its PT-symmetric deformations and the harmonic oscillator.

研究の動機と目的

• 位置依存構造定数を有する非可換時空の非可換関係の新しいクラスを開発すること。
• 非可換場の理論における非ヒルベルト変数の問題を、Dyson写像を用いてそれらのヒルベルト対応物を構築することで解決すること。
• 提案された非可換変形に対して保存されるPT型対称性を定義し、実装すること。
• 新しい枠組みにおける一般化された不確定性関係から最小長および最小運動量スケールを導出すること。
• この非可換構造内において、自由粒子、PT対称的変形、調和振動子といった単純な量子力学的モデルを定式化し、解くこと。

提案手法

• 2次元空間的次元における位置依存構造定数を有する非可換時空の非可換関係を導入する。
• 自然な量子化スキームにおいて非ヒルベルト変数を特定し、それらのヒルベルト対応物をDyson写像を用いて構築する。
• Dyson写像を通じて新しい計量演算子を定義し、ヒルベルト空間における一貫した内積構造を可能にする。
• PT型対称性を、代数的構造を保存する反線形対合写像として提案する。
• 位置依存非可換性を組み込んだ一般化されたハイゼンベルク不確定性関係を導出し、最小長および最小運動量スケールを計算する。
• 新しい非可換変数における量子力学的モデル（自由粒子、PT対称的変形、調和振動子）を定式化し、解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空における構造定数の位置依存性が量子力学に与える影響は何か？
• RQ2 非可換理論における非ヒルベルト変数は、Dyson写像と計量演算子を用いてどのように物理的に意味を持つようにされるか？
• RQ3 この変形時空における一般化された不確定性関係から、どのような最小長および最小運動量スケールが導かれるか？
• RQ4 PT型対称性は非可換代数の構造をどのように制約または保存するか？
• RQ5 自由振動子のような標準的な量子モデルは、この新しい非可換枠組みにおいてどの程度一貫して定式化可能か？

主な発見

• 非可換時空関係により、1つの空間的次元において根本的な最小長が生じ、このスケール未満の空間分解能は不可能であることが示された。
• この2次元空間内では、不変長スケールの存在により、すべての物理的対象が本質的にストリング状である。
• Dyson写像は非ヒルベルト変数をヒルベルト変数に成功裏に変換し、一貫した量子力学的解釈を可能にした。
• 一般化された不確定性関係により、最小運動量および最小長の明示的表現が得られ、空間分解能の下限が示された。
• 自由粒子および調和振動子のモデルは、新しい変数において一貫して定式化され、解の一部が得られた。
• PT型対称性は、非可換変形によって保存される対称性として同定され、安定性および物理的整合性を保証した。