[論文レビュー] Strong and weak (1, 3) homotopies on knot Projections

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、1番目のフラットリーデマイスター移動と3番目のフラットリーデマイスター移動の2つのバリエーションを用いて、ねじれ投影における強 (1,3) および弱 (1,3) ホモトピーを導入する。クロス・チューブ数を強 (1,3) ホモトピー不変量として定義し、Hanaki の自明化数が弱 (1,3) 不変量であることを証明する。自明化数が2であるねじれ投影を完全に分類し、自明なねじれ投影の強 (1,3) ホモトピー類を特定する。

ABSTRACT

Strong and weak (1, 3) homotopies are equivalence relations on knot projections, defined by the first flat Reidemeister move and each of two different types of the third flat Reidemeister moves. In this paper, we introduce the cross chord number that is the minimal number of double points of chords of a chord diagram. Cross chord numbers induce a strong (1, 3) invariant. We show that Hanaki's trivializing number is a weak (1, 3) invariant. We give a complete classification of knot projections having trivializing number two up to the first flat Reidemeister moves using cross chord numbers and the positive resolutions of double points. Two knot projections with trivializing number two are both weak (1, 3) homotopy equivalent and strong (1, 3) homotopy equivalent if and only if they can be related by only the first flat Reidemeister moves. Finally, we determine the strong (1, 3) homotopy equivalence class containing the trivial knot projection and other classes of knot projections.

研究の動機と目的

• フラットリーデマイスター移動を用いて、ねじれ投影における強および弱 (1,3) ホモトピーを定義・分析すること。
• クロス・チューブ数を強 (1,3) ホモトピー不変量として導入すること。
• Hanaki の自明化数が弱 (1,3) ホモトピー不変量であることを示すこと。
• 強および弱 (1,3) ホモトピーの下で自明化数が2であるすべてのねじれ投影を分類すること。
• 自明なねじれ投影および他の類の強 (1,3) ホモトピー同値類を特定すること。

提案手法

• 1番目のフラットリーデマイスター移動と3番目のフラットリーデマイスター移動の2つの異なるバージョンを用いて、強および弱 (1,3) ホモトピーを定義する。
• クロス・チューブ数をチェーン図における二重点の最小数として定義し、それが強 (1,3) ホモトピー不変量であることを確立する。
• 二重点の正のリゾリューションとチェーン図の解析を用いて、自明化数が2の投影を分類する。
• ディスク分解と局所的構成に対する帰納的議論を用いて、特定の移動列の非存在を証明する。
• 自明化数とクロス・チューブ数を活用してホモトピー類を区別する。
• 明示的構成とホモトピーの議論を用いて同値類を検証し、特に自明なねじれ投影の同値類を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自明なねじれ投影を含む強 (1,3) ホモトピー同値類の構造は何か？
• RQ2 強および弱 (1,3) ホモトピー関係は、ねじれ投影の分類においてどのように異なるか？
• RQ3 自明化数が2であるねじれ投影は、強および弱 (1,3) ホモトピーの下で完全に分類可能か？
• RQ4 クロス・チューブ数は強 (1,3) ホモトピー同値類に対して完全な不変量か？
• RQ5 自明化数と弱 (1,3) ホモトピー同値関係の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• クロス・チューブ数は強 (1,3) ホモトピー不変量であり、この同値関係下でのねじれ投影の区別に新たなツールを提供する。
• Hanaki の自明化数は弱 (1,3) ホモトピー不変量であり、既知の不変量が新しいホモトピー枠組みと結びつく。
• 自明化数が2である2つのねじれ投影が、弱および強 (1,3) ホモトピー同値であるための必要十分条件は、それらが1番目のフラットリーデマイスター移動でのみ関連付けられていることである。
• 自明なねじれ投影の強 (1,3) ホモトピー類は完全に特定されており、1番目および3番目のフラット移動を用いて自明なねじれに還元可能な投影のみを含む。
• 7個の二重点以下の単純素ねじれ投影の分類を、それらの自明化数およびクロス・チューブ数とともに提示し、明示的なホモトピー接続を示す。
• 8個の二重点を持つ素ねじれ投影を介して、$7_4$ と $7_B$ が強 (1,3) ホモトピー同値であることが示された。