[論文レビュー] Strong and weak convergence rates of finite element method for stochastic partial differential equation with non-globally Lipschitz coefficients

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非グローバルリプシッツ係数を有する確率的偏微分方程式（SPDEs）に有限要素法を適用した場合の強い収束速度および弱い収束速度を確立する。特に、確率的アレン・コーン方程式のような方程式を対象とする。新規の離散確率的畳み込みの分解、漸近的推定、およびマルヤビン微分の技法を組み合わせることで、正則化されたコルモゴロフ方程式および数値解の精密なマルヤビン微分可能性を仮定した下で、最適な収束速度を導出する。

ABSTRACT

Strong and weak approximation errors of a spatial finite element method are analyzed for the stochastic partial differential equations(SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients, including the stochastic Allen--Cahn equation, driven by additive noise. In order to give the strong convergence rate of the finite element method, we present an appropriate decomposition and some a priori estimates of the discrete stochastic convolution. To investigate the weak error, we first regularize the original equation by the splitting technique and obtain the regularity of the corresponding regularized Kolmogorov equation. Meanwhile, we present the refined estimates and the regularity in Malliavin sense of the finite element methods. Combining with the regularity of regularized Kolmogorov equation and Malliavin integration by parts, we give the weak convergence rate of the finite element method.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ係数を有するSPDEs、特に確率的アレン・コーン方程式を含む、有限要素法の強い収束速度と弱い収束速度を分析すること。
• SPDEsにおける標準的な収束解析を複雑にする非グローバルリプシッツ係数の課題に対処すること。
• 正則化されたコルモゴロフ方程式とマルヤビン微分の技法を組み合わせることで、最適な収束速度を確立すること。
• 離散確率的畳み込みに対する事前推定および有限要素解のマルヤビン意味での正則性を導出すること。
• 滑らかでない、非グローバルリプシッツ非線形性を有するSPDEsにおける弱収束解析のギャップを埋めること。

提案手法

• 強い収束解析に不可欠な事前推定を導くために、離散確率的畳み込みの分解を提案する。
• 元のSPDEを正則化するための分割技法を適用し、正則化されたコルモゴロフ方程式の正則性の解析を可能にする。
• 弱収束解析を支援するため、有限要素解のマルヤビン微分可能性と精密な推定を確立する。
• 正則化されたコルモゴロフ方程式の正則性と組み合わせて、マルヤビンの部分積分を用いて弱収束速度を導出する。
• 離散解の事前推定とマルヤビン的確率積分法を組み合わせて、誤差項を制御する。
• 理論的枠組みの妥当性を検証するため、その構造を活かした重要な例として確率的アレン・コーン方程式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルリプシッツ係数を有するSPDEsに対する有限要素法の強い収束速度は何か？
• RQ2 係数がグローバルリプシッツでない場合、弱収束速度はどのように分析可能か？
• RQ3 コルモゴロフ方程式の正則化が、このようなSPDEsにおける弱収束解析を可能にする役割は何か？
• RQ4 グローバルリプシッツ条件が成り立たない状況下で、マルヤビン微分を用いて弱収束速度を導出するにはどうすればよいか？
• RQ5 この文脈において、離散確率的畠み込みに必要な事前推定および正則性特性は何か？

主な発見

• 本稿は、離散確率的畠み込みの適切な事前推定を導出することにより、有限要素法の強い収束速度を確立する。
• 有限要素解のマルヤビン微分可能性の精密な解析により、弱誤差項の制御が可能になる。
• 分割技法によるコルモゴロフ方程式の正則化は、弱収束解析を支えるのに十分な正則性をもたらす。
• 正則化されたコルモゴロフ方程式の正則性とマルヤビンの部分積分を組み合わせることで、本稿は弱収束速度を導出する。
• 非グローバルリプシッツSPDEs、特に確率的アレン・コーン方程式に対しても、与えられた仮定の下で最適な収束速度が達成される。
• 理論的枠組みは、確率的アレン・コーン方程式への適用を通じて検証され、本手法の有効性が示された。