[論文レビュー] Strong approximation for a toric variety

Dasheng Wei|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、数体 $k$ 上の滑らかなトーリック多様体 $X$ に対して、${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ を満たす場合、codimension 2 以上の閉部分集合 $W$ を除いた後でも、代数的ブラウアー・マンイン障害を伴う強い近似が成り立つことを確立する。証明は降下理論と、codimension-2 の穴を持つアフィン空間における強い近似を用い、ブラウジャー・マンイン障害が単一の場所 $v_0$ における強い近似の唯一の障害であることを示す。この結果は、ノーム方程式やファイブレーションに関する先行研究を拡張しており、${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ という条件は取り除けない。

ABSTRACT

Let X be a toric variety over a number field k with \kbar[X]^ imes=\kbar^ imes. Let W\subset X be a closed subset of codimension at least 2. We prove that X\setminus W satisfies strong approximation with algebraic Brauer--Manin obstruction.

研究の動機と目的

• 数体 $k$ 上のトーリック多様体 $X$ に対して、${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ を満たす場合、代数的ブラウジャー・マンイン障害付きの強い近似を確立すること。
• codimension $\geq 2$ の閉部分集合 $W \subset X$ を除くことで、単一の場所 $v_0$ における強い近似が保たれることを証明すること。
• この設定において、ブラウジャー・マンイン障害が強い近似の唯一の障害であることを示すこと。
• ノーム方程式やファイブレーションによって定義されるアフィン多様体に関する強い近似の既知の結果を、単位群の条件を満たす一般のトーリック多様体に拡張すること。
• ${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ の条件が本質的であることを示し、[CX18, 例 5.2] で示されるように、この条件がないと結果が成り立たないことを示すこと。

提案手法

• ファンと特徴群の格子を用いたトーリック多様体の構造と降下理論を用い、問題を codimension-2 の穴を持つアフィン空間に還元すること。
• 補題 1.1 を適用して、$\mathbb{A}^n_k \setminus Z$（$\operatorname{codim}(Z) \geq 2$）が単一の場所 $v_0$ における強い近似を満たすことを示すこと。
• $S \cup \{v_0\}$ の各 $v$ に対して $p_v$ の近くを通る直線 $\ell \subset Y = \mathbb{A}^n_k \setminus Z$ を構成し、アデール近似の条件を満たすようにすること。
• $X \setminus W$ 上の普遍 torsor が、codimension $\geq 2$ の特異点集合を含むアフィンモデルに拡張可能であることを使い、torsor からの強い近似が持ち上がることを示すこと。
• [DW18, 補題 3.1] を適用して、$X \setminus W$ が $v_0$ における代数的ブラウジャー・マンイン障害付きの強い近似を満たすことを結論づけること。
• ノーム方程式 $N_{L/k}(\mathbf{w}) = cN_{K/k}(\mathbf{z})$ の場合に、ブラウアー群 $\mathrm{Br}_1(X)/\mathrm{Br}_0(X) \cong H^2(G, \widehat{T})$ を計算し、互いに素なアーベル商の下でそれが消えることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体 $k$ 上のトーリック多様体 $X$ に対して、${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ を満たす場合、codimension $\geq 2$ の閉部分集合 $W$ を除いた後でも、ブラウジャー・マンイン障害付きの強い近似が成り立つか。
• RQ2 グローバル単位群が自明であっても、このような多様体に対して単一の場所 $v_0$ における強い近似を確立できるか。
• RQ3 この設定において、ブラウジャー・マンイン障害が強い近似の唯一の障害であるか。
• RQ4 定義するノーム形式のガロア群にどのような条件を課すと、ブラウアー群 $\mathrm{Br}_1(X)/\mathrm{Br}_0(X)$ が自明になるか。
• RQ5 ${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ の条件がなぜ必要であり、この条件が満たされない場合に何が失敗するのか。

主な発見

• 任意の数体 $k$ 上の滑らかなトーリック多様体 $X$ に対して、${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ を満たす場合、codimension 2 以上の閉部分集合 $W \subset X$ を除いた多様体 $X \setminus W$ は、単一の場所 $v_0$ における代数的ブラウジャー・マンイン障害付きの強い近似を満たす。
• 証明は、codimension-2 の閉部分集合を除いたアフィン空間における強い近似に還元され、直線近似とその空間が $v_0$ において強い近似を満たすという事実に基づく。
• 降下理論と torsor 技法により、この設定においてブラウジャー・マンイン障害が強い近似の唯一の障害であることが示された。
• ノーム方程式 $N_{L/k}(\mathbf{w}) = cN_{K/k}(\mathbf{z})$ で、$L \cap K = k$ かつ最大アーベル部分拡張が互いに素である場合、$\mathrm{Br}_1(X) = \mathrm{Br}_0(X)$ となるため、障害なしに強い近似が成り立つ。
• ${\bar{k}}[X]^\times = {\bar{k}}^\times$ の条件は本質的である：この条件がないと、[CX18, 例 5.2] で示されるように、無限遠場においてブラウジャー・マンイン障害付きの強い近似は成り立たない。
• ブラウアー群 $\mathrm{Br}_1(X)/\mathrm{Br}_0(X)$ は $H^2(G, \widehat{T})$ に同型であり、ここで $G = \mathrm{Gal}(L.K/k)$ で $\widehat{T}$ は関連するトーラスの特徴群である。この群は、互いに素なアーベル商の条件の下で消える。