[論文レビュー] Strong approximation methods in group theory, an LMS/EPSRC Short course lecture notes

Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Mar 28, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、標数0の体上の線型群における強近似の基礎的手法を提示し、Lubotzkyの代替定理に注目する：有限生成な線型群は、ある意味で可解的であるか、絶対的単純代数群の算術部分群から生じる。主な貢献は、有限単純型のリー群を通じてp進完備化の研究を可能にする構造的二分法である。

ABSTRACT

These are the lecture notes for the LMS/EPSRC short course on strong approximation methods in linear groups organized by Dan Segal in Oxford in September 2007.

研究の動機と目的

• 標数0の体上の有限生成線型群に対して構造的二分法を確立すること。
• 線型群のp進完備化を理解するための強近似技法を開発すること。
• 群の構造と算術群を結ぶ中心的結果としてLubotzkyの代替定理を証明すること。
• ザリスキ閉包と算術部分群を通じて代数幾何学と数論を線型群に応用すること。
• 線型群の有限被覆が算術群の合同剰余群からどのように生じるかを示すこと。

提案手法

• 線型群のGL_n(K)におけるザリスキ閉包を用いてその代数的構造を分析する。
• 強近似定理を適用し、 simply connected かつ 絶対的単純代数群の算術部分群が、ほとんどすべての素数を法として稠密な像を持つことを示す。
• 単球根、導来群、再編成の理論を含む代数群理論を用いる。
• ノイザーの定理と準開集合を用い、代数幾何学と群論的性質を関連付ける。
• Mal’cev–PlatonovおよびLie–Kolchin定理を用いて、ほぼ可解部分群と三角化可能性を分析する。
• p進完備化と合同剰余群の構造を用い、部分群の成長と部分群構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成線型群がほぼ可解でないのはどのような条件下か？
• RQ2 算術群の合同剰余群は、線型群のp進構造をどのように反映するか？
• RQ3 線型群のザリスキ閉包は、その有限剰余群をどのように決定するか？
• RQ4 部分群成長が多項式的である線型群は、いつかならずほぼ可解になるのか？
• RQ5 線型群が固定されたリー型の有限単純群へ全射するための条件は何か？

主な発見

• Lubotzkyの代替定理が成立する：標数0の体上の有限生成線型群は、ある意味で可解的であるか、 simply connected かつ 絶対的単純代数群の算術部分群から生じる。
• このような算術群に対して、強近似定理により、合同剰余群G(Z_S)がほとんどすべての素数pについてG(F_p)の積へ全射することが示される。
• すべての素数pのうち、有限個を除き、G(F_p)は固定されたリー型の有限単純群の積の完全中心拡張である。
• 線型群の部分群成長が多項式的である場合、Lubotzkyの代替定理の(2)のケースは不可能となり、群はほぼ可解でなければならない。
• Lie–Kolchin定理により、標数0の代数的閉体上のほぼ可解線型群は、次元nにのみ依存する有界指数の三角化部分群をもつ。
• 標数0の体上の次元nのほぼ可解線型群の類に残余的に属する有限生成群は、自身もほぼ可解である。