[論文レビュー] Strong Arcwise Connectedness

Benjamín Espinoza, Paul Gartside+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間内の任意のn点を指定された順序で1つの弧によって訪問できるという位相的性質であるn強弧接続性（n-sac）を導入し、分析する。本稿では、平面的コンtinuumは4-sacではありえないこと、3-sacグラフは完全に特徴づけられること、ω-sac有理連続体が構成されること、そして記述的集合論を用いてn-sacやω-sac有理連続体には単純な特徴づけが存在しないことが示され、これらはΠ¹₂完全な集合であることが判明する。

ABSTRACT

A space is `n-strong arc connected' (n-sac) if for any n points in the space there is an arc in the space visiting them in order. A space is omega-strong arc connected (omega-sac) if it is n-sac for all n. We study these properties in finite graphs, regular continua, and rational continua. There are no 4-sac graphs, but there are 3-sac graphs and graphs which are 2-sac but not 3-sac. For every n there is an n-sac regular continuum, but no regular continuum is omega-sac. There is an omega-sac rational continuum. For graphs we give a simple characterization of those graphs which are 3-sac. It is shown, using ideas from descriptive set theory, that there is no simple characterization of n-sac, or omega-sac, rational continua.

研究の動機と目的

• 指定された順序でn個の点を訪問する弧が存在するという位相的性質、n強弧接続性（n-sac）を形式化し、調査すること。
• 特に有限グラフ、正則コンtinuum、有理コンtinuumといった1次元空間におけるこの性質の限界を特定すること。
• 3-sacグラフを完全に特徴づけ、n-sacやω-sac有理コンtinuumには類似の単純な特徴づけが存在しないことを示すこと。
• 記述的集合論の道具を用いて、n-sacおよびω-sacコンtinuumのクラスの論理的複雑性を確立し、これらがΠ¹₂完全であることを示すこと。

提案手法

• n-sacを定義する際、異なる点を指定された順序で訪問する順序付き弧を用い、正規化のためt₁=0およびtₙ=1とする。
• 補題1を用いて、有限集合Fを削除すると空間が分離される場合、その空間は(|F|+2)-sacではありえないことを示す。
• 木構造とタイル（例：bTₙ）を用いて有理コンtinuumを構成し、非帰納的木を埋め込み、接続性の性質を制御する。
• BeckerとAjtaiの手法を応用し、NNのΠ¹₂部分集合をR⁴内の曲線の連続族に還元することで、ω-sac曲線の集合がΠ¹₂完全であることを示す。
• Mengerの立方体と連続的合併を用いて、連結成分間でω-sac性質を保つ。
• ω-sac曲線がΠ¹₂完全であることから、これらは解析的（Σ¹₁）ではないことが示され、したがって普遍的な写像は存在しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限グラフが3-sacであり、それらは単純に特徴づけられるか？
• RQ2 正則コンtinuumはω-sacとなり得るか？また、各nに対して、n-sacではあるが(n+1)-sacでない正則コンtinuumが存在するか？
• RQ3 ω-sac有理コンtinuumは存在するか？もし存在するならば、そのような曲線は単純に特徴づけられるか？
• RQ4 n-sacまたはω-sac有理コンtinuumには単純な特徴づけが存在するか、それとも性質自体が本質的に複雑であるか？
• RQ5 RNにおけるn-sacおよびω-sacコンtinuumのクラスの論理的複雑性（ボレル階層内）は何か？

主な発見

• 平面的コンtinuumは4-sacではありえない。これは弧による切断点の障害と「出口のない弧」の補題によって示される。
• 3-sacグラフが存在し、また2-sacではあるが3-sacでないグラフも存在する。さらに、3-sacグラフの完全な単純な特徴づけが与えられている。
• 任意のnに対して、n-sacではあるが(n+1)-sacでない正則コンtinuumが存在するが、正則コンtinuumはω-sacではありえない。
• ω-sac有理コンtinuumが存在し、非帰納的木によってインデックス付けられた連続的な有理曲線族を用いて構成されている。
• n ≥ 2およびn = ωの場合、RNにおけるn-sac曲線の集合はC(RN)でΠ¹₂完全である。これは、より単純な特徴づけが存在しないことを示唆する。
• 論理的複雑性のため、任意の可算族のω-sac曲線からすべてのω-sac曲線への普遍的な連続写像は存在しない。