[論文レビュー] Strong c-algebrability of strong Sierpiński-Zygmund, smooth nowhere analytic and other sets of functions

Artur Bartoszewicz, Marek Bienias+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、強Sierpiński-Zygmund関数、どこでもHölderでない関数、Bruckner-Garg関数、滑らかでどこでも解析的でない関数、微分可能でどこでも単調でない関数など、いくつかの例外的な実関数族に対して強い𝔠-代数的構造を確立する。著者らは指数関数に類似する関数との合成を用いて自由代数を構成し、これらの集合が𝔠生成の代数に同型であることを証明することで、それぞれのケースで可能な限り高い代数的構造レベルに到達する。

ABSTRACT

We present a useful technique of proving strong $\mathfrak{c}$-algebrability. As an outcome we obtain the strong $\mathfrak{c}$-algebrability of the following sets of functions: strong Sierpiński-Zygmund, nowhere Hölder, Bruckner-Garg, nowhere monotone differentiable, a certain Baire class, smooth and nowhere analytic functions.

研究の動機と目的

• 位相的または測度論的意味で通常は小さいと見なされる病理的実関数族に対して、強い𝔠-代数的構造を確立すること。
• 関数族内に自由代数を生成するための一般的手法を開発・適用すること、その根拠として指数関数に類似する関数との合成を用いること。
• 代数的構造の結果が、濃度および構造的複雑さの観点から最適であることを示し、可能な限り最大の𝔠生成子数に到達すること。
• 近似連続関数や所定の連続性集合を持つ関数などのクラスについて、代数的構造の図を完成させること。

提案手法

• 適切な生成関数Fを選び、それを指数関数に類似する関数fと合成することで、関数族内に濃度𝔠の自由代数を構成する。
• 指数関数に類似する関数が有限対1であり、Lebesgue零集合を保存することを用いて、極限集合（例えばカントール集合）の像が合成後もカントール集合のまま保たれることを保証する。
• 生成子のすべての有限非定数多項式結合の集合が、ターゲット関数族に含まれることを検証し、代数的閉包を保証する。
• 定理1.5という一般基準を適用し、任意の指数関数に類似するfと固定されたF∈Fに対してf∘F ∈ F∖{0} が成り立つ場合、強い𝔠-代数的構造が保証されることを示す。
• 合成に関して生成集合が線形独立のままであることを示し、代数の自由性が保たれることを保証する。
• Fが単射であれば、生成される代数がC[0,1]において稠密であることを用いて、代数的構造を稠密部分代数へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいてCHを仮定しない状況でも、強Sierpiński-Zygmund関数の集合が強く𝔠-代数的構造を持つことが示せるか？
• RQ2 指数関数に類似する関数との合成を用いて、滑らかでどこでも解析的でない関数族が強く𝔠-代数的構造を持つのか？
• RQ3 Bruckner-Garg関数および微分可能でどこでも単調でない関数族の代数的構造が、最大の𝔠レベルに達するか？
• RQ4 指数関数に類似する関数との合成で生成される代数がC[0,1]においていつ稠密になるか？
• RQ5 n階導関数がどこでもHölderでない関数の集合に対して、強い𝔠-代数的構造を達成できるか？

主な発見

• 強Sierpiński-Zygmund関数族は、ZFCのもとで族が空でない限り、強く𝔠-代数的構造を持つ。
• 連続点のGδ集合が所定のものである関数の集合は強く𝔠-代数的構造を持つ。
• どこでもHölderでない関数の集合およびほとんど everywhere で不連続な近似連続関数の集合は強く𝔠-代数的構造を持つ。
• 滑らかでどこでも解析的でない関数および微分可能でどこでも単調でない関数は強く𝔠-代数的構造を持つ。
• 極限点の集合がカントール集合である有界列の集合は強く𝔠-代数的構造を持つ。
• 指数関数に類似する関数の集合は、生成関数自体が指数関数に類似しないとしても、強く𝔠-代数的構造を持つ。