[論文レビュー] Strong Collapse for Persistence

Jean‐Daniel Boissonnat, Siddharth Pritam+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、フィルトレーション、タワー、ジグザグを含む系列における単体複体の簡略化に強いコラプスを適用することで、持続的ホモロジー（PH）計算を高速化する新規手法PH-Collapserを提案する。複体を最大単体のみで表現し、独立的かつ並列にコラプスすることで、正確なPHを保持しつつ、メモリと時間計算量を大幅に削減し、大規模・高次元データセットにおいてRipserなどの最先端ツールを上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We introduce a fast and memory efficient approach to compute the persistent homology (PH) of a sequence of simplicial complexes. The basic idea is to simplify the complexes of the input sequence by using strong collapses, as introduced by J. Barmak and E. Miniam [DCG (2012)], and to compute the PH of an induced sequence of reduced simplicial complexes that has the same PH as the initial one. Our approach has several salient features that distinguishes it from previous work. It is not limited to filtrations (i.e. sequences of nested simplicial subcomplexes) but works for other types of sequences like towers and zigzags. To strong collapse a simplicial complex, we only need to store the maximal simplices of the complex, not the full set of all its simplices, which saves a lot of space and time. Moreover, the complexes in the sequence can be strong collapsed independently and in parallel. Finally, we can compromize between precision and time by choosing the number of simplicial complexes of the sequence we strong collapse. As a result and as demonstrated by numerous experiments on publicly available data sets, our approach is extremely fast and memory efficient in practice.

研究の動機と目的

• 大規模・高次元データセットにおける持続的ホモロジー（PH）の高い計算コストとメモリ使用量を軽減すること。
• 標準的なフィルトレーションを超えた応用を想定し、正確なPHを保持しつつ単体複体を簡略化する手法を開発すること。
• 全複体表現ではなく最大単体を用いることで、ストレージと計算時間を削減すること。
• タワー やジグザグなどの系列における複体の並列的・段階的な簡略化を可能にすること。
• 実世界のデータセットにおいて、既存のソフトウェアを上回る実用的でスケーラブルなPH計算ソリューションを提供すること。

提案手法

• 本手法は、強いコラプスと呼ばれる位相的簡略化技術を用い、系列内の各複体を独立的かつ並列に簡略化する。
• 各単体複体を最大単体のみで表現することで、ストレージと計算のオーバーヘッドを削減する。
• コアとなる複体は、被覆される単体を除去する貪欲アルゴリズムにより計算され、ホモトピー型とPHを保持する。
• コロールドされた複体間の誘導写像は元の単体写像から導かれるため、コア系列が元の系列と同一のPHを持つことが保証される。
• アルゴリズムの時間計算量は、O(v²Γ₀d + m²Γ₀d) であり、ここで v は頂点数、m は最大単体数、Γ₀ は1頂点に接続される最大単体数の最大値、d は次元を表す。
• 標準的なアルゴリズムを用いてコロールドコア系列でPHを計算し、PH出力が必要な場合にのみ元の複体を再構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いコラプスは、フィルトレーション以外の種類（例：タワー やジグザグ）を含む多様な系列においてPH計算を高速化できるか？
• RQ2 全単体表現と比較して、最大単体数の削減がどれほどメモリ使用量と計算時間に効果をもたらすか？
• RQ3 大規模・高次元データセットにおいて、Ripserなどの既存PHソフトウェアと比較して、強いコラプスの性能はどの程度か？
• RQ4 コロールドする複体の数を制御することで、精度と効率のバランスを調整できるか？
• RQ5 実際の応用において、強いコラプスが達成する簡略化比に理論的な保証は存在するか？

主な発見

• 高次元Rips複体において、PH-CollapserはRipserに比べ最大100倍の高速化を達成した。特に次元7以上ではRipserがメモリオーバーロードでクラッシュしたが、PH-Collapserは正常に処理できた。
• 297点、閾値0.3のelegデータセットでは、PH-Collapserは全次元のPDを578.3秒で計算したが、Ripserは次元5でメモリ制限に達し失敗した。
• netw-scデータセットでは、PH-Collapserは次元7まで144秒でPDを計算したが、Ripserは次元7の計算に357秒を要し、それ以上の次元では失敗した。
• 特に高次元複体では全単体数に比べて最大単体数がはるかに少ないため、最大単体のみを格納することで、メモリ使用量を顕著に削減した。
• すべてのデータセットで前処理がほぼ即時的に行われ、合計計算時間の大部分はコロールドコアでのPH計算に費やされた。
• 細かめのスナップショットステップのおかげで、PH-CollapserとRipserの出力間のボトルネック距離は最小限に抑えられ、本手法の正確性が裏付けられた。