[論文レビュー] Strong Consistency of Multivariate Spectral Variance Estimators

Dootika Vats, James M. Flegal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 62被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多変量スペクトル分散推定量（MSVE）の強い一致性を、多項式定常性およびモーメント制限を含む一般条件の下で、マコフ連鎖中心極限定理における漸近的共分散行列の推定において確立する。MSVEおよびその固有値がほとんど確実に真の共分散行列に収束することを証明し、可逆性を仮定しないMCMCシミュレーションにおけるモンテカルロ誤差推定の厳密な多変量フレームワークを提供する。

ABSTRACT

Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms are used to estimate features of interest of a distribution. The Monte Carlo error in estimation has an asymptotic normal distribution whose multivariate nature has so far been ignored in the MCMC community. We present a class of multivariate spectral variance estimators for the asymptotic covariance matrix in the Markov chain central limit theorem and provide conditions for strong consistency. We examine the finite sample properties of the multivariate spectral variance estimators and its eigenvalues in the context of a vector autoregressive process of order 1.

研究の動機と目的

• MCMCモンテカルロ誤差推定において、主に単変量推論に焦点を当てた現状に対し、多変量処理の欠如に対処すること。
• マコフ連鎖中心極限定理における漸近的共分散行列のための多変量スペクトル分散推定量（MSVE）のクラスを構築すること。
• MSVEが真の漸近的共分散行列の強い一貫性推定量である条件を確立すること。
• 可逆性を仮定しないより弱い仮定の下で、単変量の強い一貫性結果を多変量ケースに拡張すること。
• MSVEの固有値が、真の漸近的共分散行列の固有値に対しても強い一貫性推定量であることを証明し、モンテカルロ誤差の構造に関する信頼性のある推論を可能にすること。

提案手法

• マコフ連鎖の増分過程のスペクトル密度推定に基づく多変量スペクトル分散推定量（MSVE）のクラスを提案する。
• 部分和過程と確率的誤差項を伴うブラウン運動との間の関係を確立するために、多変量強い不変性原理（SIP）を用いる。
• ブロックサイズ $ b_n $ と重み $ w_n(k) $ の列を用いた重み付きブロック平均化スキームを採用し、MSVEを構築する。
• 推定誤差の収束速度を導出するために、モーメントおよび混合条件の下でクーレス-フィリップの強い不変性原理を適用する。
• 強い一貫性を保証するために、混合係数およびモーメントの条件を課し、特に $ \mathbb{E}_F\|g\|^{4+\delta} < \infty $ および $ \xi \geq (1+\epsilon)(1+2/\delta) $ の多項式定常性を要求する。
• 推定誤差を9つの項に分解し、$ n \to \infty $ の下で各項がほとんど確実に0に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量スペクトル分散推定量（MSVE）が、多変量マコフ連鎖中心極限定理における漸近的共分散行列に対して強い一貫性を示せるか？
• RQ2 従来の単変量結果よりも弱い条件下、特に可逆性を仮定しない場合でも、MSVEの強い一貫性が成立するか？
• RQ3 MSVEの固有値も、真の漸近的共分散行列の固有値の強い一貫性推定量であるか？
• RQ4 多項式定常性およびモーメント条件の下で、MSVEの収束速度を特徴づけられるか？
• RQ5 理論的頑健性および一般性の観点から、MSVEは既存の単変量推定量と比べてどのように差をつけるか？

主な発見

• 多変量スペクトル分散推定量 $ \widehat{\Sigma}_{S} $ は、漸近的共分散行列 $ \Sigma $ に対して強い一貫性を示す。すなわち、$ n \to \infty $ の下で $ \widehat{\Sigma}_{S} \to \Sigma $ ほとんど確実に収束する。
• MSVEの固有値も、$ \Sigma $ の固有値の強い一貫性推定量である。これにより、分散共分散構造に関する信頼性の高い推論が可能になる。
• 条件 $ \mathbb{E}_F\|g\|^{4+\delta} < \infty $ および $ \xi \geq (1+\epsilon)(1+2/\delta) $ （$ \epsilon > 0 $）の下で、強い一貫性が成立する。
• 証明により、$ |\widehat{\Sigma}_{ij} - \Sigma_{ij}| $ の分解における9つの誤差項すべてが、$ n \to \infty $ の下でほとんど確実に0に収束することが確認された。
• 結果は、単変量の強い一貫性結果（例：Atchadé, 2011；FlegalとJones, 2010）を、可逆性を仮定しないより弱い仮定の下で多変量設定に一般化したものである。
• Geyer（1992）およびKosorok（2000）の研究で用いられた可逆性の仮定に依存せず、適用範囲を広げた。