[論文レビュー] Strong Consistency of Nonparametric Bayesian Inferential Methods for Multivariate Max-Stable Distributions

Simone A. Padoan, Stefano Rizzelli|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、スプラインを用いた従属構造のモデリングを通じて、多変量極値安定分布に対する非パラメトリックベイズ推論手法を提案し、極値安定分布の近傍に分布するデータや、未知の尾指数を有する重尾マージンを含むさまざまな正則性条件下で強い事後一致性を確立している。

ABSTRACT

Predicting extreme events is important in many applications in risk analysis. The extreme-value theory suggests modelling extremes by max-stable distributions. The Bayesian approach provides a natural framework for statistical prediction. Marcon, Padoan and Antoniano [ extit{Electron. J. Stat.} extbf{10} (2016) 3310--3337] proposed a nonparametric Bayesian estimation method for bivariate max-stable distributions, representing the main (infinite dimensional) parametrizations of the dependence structure with polynomials in Bernstein form. In this article, we describe a similar inferential method, but which alternatively models the dependence structure by splines. Then, for both approaches we establish the strong consistency of the posterior distributions, under the main parametrizations of the dependence structure. Next, we describe an inferential framework that extends the Bernstein polynomials based approach to max-stable distributions in arbitrary dimensions (greater than two) and we derive the posterior consistency results also in this case. Initially, the consistency results are obtained assuming that the data follow a max-stable distribution with known margins. However, the latter only provides an asymptotic model for sufficiently large sample sizes and its margins are known, potentially, apart from some unknown parameters. Then, we extend the consistency results to the case where the data come from a distribution that is in a neighbourhood of a max-stable distribution and to the case where the margins of the max-stable distribution are heavy-tailed with unknown tail indices.

研究の動機と目的

• 二変数を超える場合にも拡張可能な、多変量極値安定分布の非パラメトリックベイズ的推論フレームワークの構築を目的とする。
• 極値安定分布における従属構造のスプラインベースモデリングの強い事後一致性を確立すること。
• ベルシュタイン多項式に基づくアプローチを、2より大きな任意の次元へと一般化すること。
• 極値安定分布の近傍に分布するデータに対して、一貫性の結果を拡張すること。
• 極値安定モデルフレームワーク内での未知の尾指数を有する重尾マージンのケースに対処すること。

提案手法

• 非パラメトリック表現のため、ベルシュタイン多項式の代わりにスプラインを用いて、多変量極値安定分布の従属構造をモデリングする。
• 無限次元の従属パラメータを事後分布を通じて推論するベイズ非パラメトリックアプローチを用いる。
• マージンが既知の極値安定分布に従うという仮定の下で、強い事後一致性を確立する。
• モデル不適合を許容できるように、極値安定分布の近傍に分布するデータ分布への一貫性枠組みを拡張する。
• 重尾マージンの未知の尾指数を考慮するために、事後一致性の結果をこの半パラメトリックな設定に拡張する。
• ベルシュタイン多項式に基づくアプローチを高次元の従属構造に適応することで、任意の次元への推論手法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極値安定分布における従属構造のスプラインベース非パラメトリックモデリングは、強い事後一致性を達成できるか？
• RQ2 データが真の極値安定分布からわずかに逸脱しても、事後分布の一貫性は保たれるか？
• RQ3 極値安定分布のマージンが重尾的で、尾指数が未知の場合でも、強い事後一致性は保持されるか？
• RQ4 ベルシュタイン多項式に基づく推論フレームワークは、2より大きな次元の多変量極値安定分布へと拡張可能か？
• RQ5 未知の尾指数を含む半パラメトリックな仮定のもとで、一貫性の結果はどのように保たれるか？

主な発見

• 本稿では、多変量極値安定従属構造のスプラインベース非パラメトリックベイズ法に対して強い事後一致性を確立している。
• データが極値安定分布の近傍に分布する場合でも、事後一致性が維持されることから、モデル不適合に対して強いロバストネスを示している。
• 尾指数が未知であり、ベイズフレームワーク内で推定される重尾マージンのケースに対しても、一貫性の結果が拡張されている。
• ベルシュタイン多項式に基づくアプローチが、任意の次元へと成功裏に一般化され、対応する事後一致性が確立されている。
• 理論的枠組みにより、高次元設定における柔軟なマージンモデリングを伴う極値モデリングにおける非パラメトリックベイズ法の適用が支持されている。
• 結果として、弱い正則性条件下でも、スプラインおよびベルシュタイン多項式表現が、多変量極値安定モデルにおける推論の有効な非パラメトリックツールであることが検証された。