[論文レビュー] Strong Convergence for Discrete Nonlinear Schrödinger equations in the Continuum Limit

Younghun Hong, Changhun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$h\mathbb{Z}^d$ 上の離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の解が $h \to 0$ のとき、連続体非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の解に最良の正則性および非線形性条件の下で強い収束を示す。主な貢献は、$h$ に依存しないストリカルツ推移と、離散設定に適応された分散型PDE技法を用いて、収束速度 $O(h^{\alpha/(1+\alpha)})$ を明示的に得ることにある。

ABSTRACT

We consider discrete nonlinear Schrödinger equations (DNLS) on the lattice $h\mathbb{Z}^d$ whose linear part is determined by the discrete Laplacian which accounts only for nearest neighbor interactions, or by its fractional power. We show that in the continuum limit $h o 0$, solutions to DNLS converge strongly in $L^2$ to those to the corresponding continuum equations, but a precise rate of convergence is also calculated. In particular cases, this result improves weak convergence in Kirkpatrick, Lenzmann and Staffilani \cite{KLS}. Our proof is based on a suitable adjustment of dispersive PDE techniques to a discrete setting. Notably, we employ uniform-in-$h$ Strichartz estimates for discrete linear Schrödinger equations in \cite{HY}, which quantitatively measure dispersive phenomena on the lattice. Our approach could be adapted to a more general setting like \cite{KLS} as long as the desired Strichartz estimates are obtained.

研究の動機と目的

• 離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）が $h\mathbb{Z}^d$ 上で $h \to 0$ のとき連続体NLSに連続極限を厳密に確立すること。
• キリングパーキンソン、レントズマン、スターフィラーニの先行研究における弱収束結果を改善し、$L^2$ における強い収束を証明すること。
• 連続極限における $L^2$ ノルムでの収束の明示的定量的レートを導出すること。
• 特に $h$ に依存しないストリカルツ推移を用いた、分散型PDE技法—特に離散格子設定への適応—を拡張すること。
• 適切なストリカルツ推移が利用可能であれば、より広範な離散分散型方程式のクラスに適用可能な一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 離散格子に適応された連続分散型PDE技法を、離散線形シュレーディンガー方程式に対する $h$ に依存しないストリカルツ推移を用いて展開すること。
• 連続関数を格子関数に写像する離散化作用素 $f_h$ と、格子関数を連続体に戻す補間作用素 $p_h$ を用いること。
• 線形発展誤差、非線形性の不一致、補間誤差、初期データ誤差の4つの項に分解して誤差推定を確立すること。
• 非線形相互作用の時間的累積効果を制御するため、グローナルの不等式を適用すること。
• 保存則とガガリャルド＝ニレングラート不等式から導かれる、連続体および離散解の時間平均 $L^∞$ 界を用いること。
• フーリエ乗数子を用いて定義される分数階ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$ と、格子 $h\mathbb{Z}^d$ 上の離散版 $(-\Delta_h)^\alpha$ を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束ではなく、強収束が離散非線形シュレーディンガー方程式の連続極限で確立可能か？
• RQ2 $h \to 0$ のとき、$L^2$ ノルムにおけるDNLS解の連続体NLS解への収束の明示的レートは何か？
• RQ3 離散線形シュレーディンガー方程式に対する $h$ に依存しないストリカルツ推移が、連続極限における非線形誤差項を制御するために使用可能か？
• RQ4 どのような正則性および非線形性条件の下で、強い収束と明示的レートを伴う連続極限が成立するか？
• RQ5 分散型PDE技法を、離散格子問題に体系的に適応することで、このような収束結果を達成するにはどうすればよいか？

主な発見

• 格子 $h\mathbb{Z}^d$ 上の離散非線形シュレーディンガー方程式の解は、$h \to 0$ のとき、連続体NLSの解に $L^2$ で強い収束を示す。
• 収束レートは $\|u(t) - p_h u_h(t)\|_{L^2} \lesssim h^{\alpha/(1+\alpha)} e^{B|t|} (1 + \|u_0\|_{H_h^\alpha})^p$ として定量的に特定され、時間および初期データに明示的な依存関係を示す。
• キリングパーキンソン、レントズマン、スターフィラーニの1次元立方DNLSと長距離相互作用に対する先行の弱収束結果を改善している。
• $h$ に依存しないストリカルツ推移は、証明において本質的かつ十分であり、格子上での分散効果を制御可能である。
• 保存則とガガリャルド＝ニレングラート不等式を用いて、離散および連続解の時間平均 $L^\infty$ 界が導出され、非線形項の取り扱いに不可欠である。
• この枠組みは一般性を持ち、線形部分に対して $h$ に依存しないストリカルツ推移が利用可能であれば、他の離散分散型方程式へも拡張可能である。