[論文レビュー] Strong convergence of a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative noise

Xiaobing Feng, Yukun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、片側リプシッツ条件を満たすドリフト項とグローバルリプシッツな拡散項をもつ乗法的ノイズを伴う半線形確率偏微分方程式（SPDE）に対して、完全離散型有限要素法を提案する。非線形ドリフト項の有限要素補間と高度なモーメント推定を組み合わせることで、最小限の仮定のもとで$L^2$および$H^1$ノルムにおいてほぼ最適な収束速度を示す強い収束性を確立した。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with multiplicative noise. The nonlinearity in the diffusion term of the SPDEs is assumed to be globally Lipschitz and the nonlinearity in the drift term is only assumed to satisfy a one-side Lipschitz condition. The semilinear SPDEs considered in this paper is a direct generalization of the SODEs considered in [13]. There are several difficulties which need to be overcome for this generalization. First, obviously the spatial discretization, which does not appear in the SODE case, adds an extra layer of difficulty. It turns out a special discretization must be designed to guarantee certain properties for the numerical scheme and its stiffness matrix. In this paper we use a finite element interpolation technique to discretize the nonlinear drift term. Second, in order to prove the strong convergence of the proposed fully discrete finite element method, stability estimates for higher order moments of the $H^1$-seminorm of the numerical solution must be established, which are difficult and delicate. A judicious combination of the properties of the drift and diffusion terms and a nontrivial technique borrowed from [16] is used in this paper to achieve the goal. Finally, stability estimates for the second and higher order moments of the $L^2$-norm of the numerical solution is also difficult to obtain due to the fact that the mass matrix may not be diagonally dominant. This is done by utilizing the interpolation theory and the higher moment estimates for the $H^1$-seminorm of the numerical solution. After overcoming these difficulties, it is proved that the proposed fully discrete finite element method is convergent in strong norms with nearly optimal rates of convergence.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う半線形SPDEのクラスに対して、従来のSODEに基づく数値スキームを一般化する完全離散型有限要素法の開発を目的とする。
• 非線形ドリフト項のための有限要素補間技術を導入することで、SPDEにおける空間離散化の課題に取り組む。
• 片側リプシッツなドリフトとグローバルリプシッツな拡散という最小限の仮定のもとで、ほぼ最適な収束速度を有する強い収束性を確立する。
• 特に非対角優勢でない質量行列の影響を受ける$H^1$-半ノルムおよび$L^2$-ノルムの高次モーメントを抑え込む困難を克服する。
• 変動強度や非線形性が変化する状況下での収束性と安定性を示す数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証する。

提案手法

• 時間積分に陰的スキームを用い、空間離散化に$H^1$-適合な有限要素法を採用することで、完全離散型有限要素法を構築する。
• 非線形ドリフト項$f(u)$は、数値スキームの安定性と整合性を保つために有限要素補間技術により離散化する。
• 補間理論と$H^1$-半ノルムのモーメント評価を用いて、$L^2$-ノルムの2次以降のモーメントに対する安定性評価を導出する。
• 文献[16]の非自明な技術を応用し、$H^1$-半ノルムのモーメントを制御することで、最小限の正則性仮定のもとでの強い収束性の証明を可能にする。
• 空間離散化に起因する剛性行列に対して、適切な性質を確保する補間戦略を採用することで、その取り扱いを適切に行う。
• エネルギー法とモーメント不等式を用いて、$L^\frown\backepsilon L^2$、$\mathbb{E}L^\infty L^2$、$\mathbb{E}L^2H^1$という強いノルムにおける収束解析を実施し、誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側リプシッツなドリフト項とグローバルリプシッツな拡散項という最小限の仮定のもとで、乗法的ノイズを伴う半線形SPDEに対して完全離散型有限要素法が強い収束性を達成できるか。
• RQ2 ドリフト項が片側リプシッツにしか満たない場合、かつ拡散項がグローバルリプシッツである場合に、空間離散化をどのように設計すれば安定性と収束性を保てるか。
• RQ3 乗法的ノイズの存在下で、数値解の$H^1$-半ノルムおよび$L^2$-ノルムの高次モーメントを制御するために必要な技術は何か。
• RQ4 このようなSPDEにおいて、強いノルムでの収束速度はどの程度達成可能か。また、空間的および時間的離散化パラメータにどのように依存するか。
• RQ5 ノイズ強度や非線形性が変化する状況下で、本手法は数値的にどのように振る舞うか。特に、確率的アレン・カーン方程式を含むケースについて検証する。

主な発見

• 提案された完全離散型有限要素法は、$L^\frown\backepsilon L^2$、$\mathbb{E}L^\infty L^2$、$\mathbb{E}L^2H^1$ノルムにおいて、ほぼ最適な収束速度を有する強い収束性を示した。
• 数値実験により、$L^\frown\backepsilon L^2$および$\mathbb{E}L^\infty L^2$誤差では収束順序が約2、$\mathbb{E}L^2H^1$誤差では順序1が確認され、ノイズ強度に依存しない。
• $f(u) = u - u^3$、$f(u) = u - u^{11}$、$g(u) = \delta u$ または $g(u) = \delta \sqrt{u^2 + 1}$ のすべてのケースにおいて、$\mathbb{E}L^2$および$\mathbb{E}H^1$ノルムで安定性が維持された。
• ノイズ強度を$\delta = 1$から$\delta = 50$に増加させても収束速度が一定に保たれ、ノイズの大きさに対してロバストであることが示された。
• 理論的解析により、片側リプシッツなドリフトとグローバルリプシッツな拡散という最小限の仮定のもとで、本手法が安定であることが確認された。これは、従来のSODE結果をSPDEに拡張したものである。
• ドリフト項に有限要素補間を適用することで、必要なモーメント推定が可能となり、空間離散化の下でもスキームの整合性と安定性が保証された。