[論文レビュー] Strong Convergence of Forward-Backward-Forward Methods for Pseudo-monotone Variational Inequalities with Applications to Dynamic User Equilibrium in Traffic Networks

Benoît Duvocelle, Dennis Meier+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限次元ヒルバート空間における擬似単調変分不等式を解くために、強収束を保証する新しい前向き後向き前向き（FBF）アルゴリズムを提案する。特に、交通ネットワークにおける動的ユーザ均衡（DUE）に応用されている。この手法は、ツェングのFBFスキームを、強収束を保証する簡単で計算コストの低い修正を加えることで改善し、グローバルな単調性やリプシッツ定数の事前知識がなくても、最小ノルム解への強収束を達成する。数値実験では、ニエン・ネットワークおよびシウ・フラッツネットワークにおいて、最先端のソルバーよりも競争力ある性能を示した。

ABSTRACT

In infinite-dimensional Hilbert spaces we device a class of strongly convergent primal-dual schemes for solving variational inequalities defined by a Lipschitz continuous and pseudomonote map. Our novel numerical scheme is based on Tseng's forward-backward-forward scheme, which is known to display weak convergence, unless very strong global monotonicity assumptions are made on the involved operators. We provide a simple augmentation of this algorithm which is computationally cheap and still guarantees strong convergence to a minimal norm solution of the underlying problem. We provide an adaptive extension of the algorithm, freeing us from requiring knowledge of the global Lipschitz constant. We test the performance of the algorithm in the computationally challenging task to find dynamic user equilibria in traffic networks and verify that our scheme is at least competitive to state-of-the-art solvers, and in some case even improve upon them.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルバート空間における変分不等式を解く数値スキームを開発し、弱い単調性仮定（例：擬似単調性）のもとでも強収束を保証すること。
• 遅延作用素が閉形式で表現できないこと、強単調性を満たさないことが特徴の動的ユーザ均衡（DUE）問題における計算的課題に対処すること。
• 反復が安価で、強収束を保証するアルゴリズムを設計し、従来の方法が強単調性に依存するか、高コストの射影を必要とするという制限を克服すること。
• グローバルなリプシッツ定数の事前知識を必要としない、適応的ステップサイズ戦略によりアルゴリズムを自由化すること。
• 実世界の交通ネットワークインスタンスにおける本手法の性能を、収束速度と解の品質の観点から最先端のソルバと比較して検証すること。

提案手法

• 提案手法は、元来リプシッツ連続性と擬似単調性のもとで弱収束を示すツェングの前向き後向き前向き（FBF）スキームの適応的かつ拡張版である。
• 主な革新点は、変分不等式の最小ノルム解への強収束を保証する、簡単で計算コストの低いFBF反復の修正である。
• グローバルな作用素のリプシッツ定数の事前知識を避けるために、適応的ラインサーチ戦略が導入された。
• 動的ユーザ均衡（DUE）問題は、遅延作用素を単調写像とする変分不等式として定式化され、この手法が適用された。
• 各反復で遅延作用素を計算するために、LWRモデルを用いた動的ネットワークローディング（DNL）手順が実装され、パスフロー空間におけるVIの解法が可能になった。
• MATLABを用いてオープンソースのDTAツールボックスを活用して実装され、収束は連続する反復間の相対ギャップによって監視された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬似単調変分不等式に対して、強単調性を要件としない前向き後向き前向き法を、ヒルバート空間で強収束を達成するように修正可能か？
• RQ2 動的ユーザ均衡（DUE）のための計算効率の良いアルゴリズムを設計可能か？その際、強収束を保証し、高価な射影ステップを回避できるか？
• RQ3 提案された適応的で強収束を保証するFBFスキームは、プロジェクトド・グラディエント法などの既存ソルバーよりも、ベンチマーク交通ネットワークにおける収束速度と解の品質の観点で優れているか？
• RQ4 遅延作用素のグローバルなリプシッツ定数の事前知識がなくても、アルゴリズムが動作可能か？また、適応的ステップサイズ戦略はどの程度効果的か？
• RQ5 強収束の保証が、複雑な交通ネットワークにおけるDUE計算の信頼性とロバストネスをどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案されたFBFアルゴリズムは、リプシッツ連続性と擬似単調性の仮定のもとで、強単調性を要件とせず、変分不等式の最小ノルム解への強収束を達成した。
• アルゴリズムの適応的バージョンは、グローバルなリプシッツ定数の事前知識を回避するのに成功し、実用的応用性が向上した。
• ニエンネットワークにおける数値実験では、提案されたFBF法が、O-Dギャップが低いという点で、プロジェクトド・グラディエント法を上回る収束速度と解の品質を示した。
• より大きなシウ・フラッツネットワークでは、反復複雑度とO-Dギャップ分布の観点で、FBF法はプロジェクトド・グラディエント法と同等の性能を示したが、依然として強収束を保証した。
• 両ネットワークにおいて相対ギャップ（epsilon）が10^-4未満に低下し、収束が十分に達成されたことが示された。FBF法はニエンネットワークでわずかな優位性を示した。
• O-Dギャップのヒストグラムでは、大多数のギャップが0.1から0.3の間にあることが示され、早期終了が確認されたが、FBF法はプロジェクト法よりも良好な全体的なギャップ分布と、より低い最大ギャップを達成した。