[論文レビュー] Strong convergence of propagation of chaos for McKean-Vlasov SDEs with singular interactions

Zimo Hao, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、熱核推定とZvonkin変換を用いて、Krylov-Röcknerの強い適切性理論を混合$L^p$-ドリフトを持つSDEへと拡張することにより、特異的$L^p$-相互作用および中程度の相互作用カーネルを有するMcKean-Vlasov SDEに対する伝播の混沌の強い収束を確立する。エントロピー法とGirsanov型の議論を用いて、有界可測相互作用下での最適収束レートを証明し、パスごとの粒子系近似における主要な課題を解決する。

ABSTRACT

In this work we show the strong convergence of propagation of chaos for the particle approximation of McKean-Vlasov SDEs with singular $L^p$-interactions as well as for the moderate interaction particle systems on the level of particle trajectories. One of the main obstacles is to establish the strong well-posedness of the SDEs for particle systems with singular interaction. To this end, we extend the results on strong well-posedness of Krylov and Röckner \cite{Kr-Ro} to the case of mixed $L^p$-drifts, where the heat kernel estimates play a crucial role. Moreover, when the interaction kernel is bounded measurable, we also obtain the optimal rate of strong convergence, which is partially based on Jabin and Wang's entropy method \cite{JW16} and Zvonkin's transformation.

研究の動機と目的

• 特異的$L^p$-相互作用を有するMcKean-Vlasov SDEに対する粒子系極限における伝播の混沌の強い収束を確立すること。
• KrylovとRöcknerの強い適切性理論を、混合$L^p$-ドリフトを持つSDEへと拡張し、特異的相互作用項の解析を可能にする。
• 相互作用カーネルが有界可測である場合の、中程度の相互作用粒子系に対する最適収束レートを導出すること。
• 特異的ドリフトを有する$N$粒子系のパスごとの適切性の課題を、高度な確率的解析技法を用いて克服すること。

提案手法

• 熱核推定とZvonkin変換を用いて、Krylov-Röcknerの強い適切性結果を混合$L^p$-ドリフトを持つSDEへと拡張する。
• Zvonkin変換を適用してSDEを正則化し、特異的相互作用を有する粒子系に対してパスごとの一意性と強い解を確立する。
• JabinとWangのエントロピー法を用いて、有界可測相互作用カーネル下での最適収束レートを導出する。
• Girsanov変換と相対エントロピーの議論を用いて、粒子系の密度の制御およびその極限測度への収束を制御する。
• 中程度の相互作用領域における近似密度と真の密度の$L^\frown{\infty}$-ノルム差を制御するため、ボルテラ型のグローヴァル不等式を適用する。
• PDEの解を用いて$C^1$-微分同相を構築し、粒子系と極限過程を結合することで、伊藤の公式を用いたパスごとの比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的$L^p$-相互作用を有するMcKean-Vlasov SDEに対して、伝播の混沌の強い収束を確立できるか？
• RQ2 特異的で混合$L^p$-ドリフトを有する$N$粒子系に対して、強い適切性をどのように証明できるか？
• RQ3 有界可測カーネルを有する中程度の相互作用粒子系に対して、最適収束レートは何か？
• RQ4 Zvonkin変換と熱核推定を用いて、粒子系近似の文脈で特異的ドリフトを正則化できるか？
• RQ5 JabinとWangのエントロピー法は、有界可測相互作用の場合に鋭い収束レートをもたらすか、どの程度の範囲で成立するか？

主な発見

• 本稿は、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ を満たす特異的$L^p$-相互作用下で、$N$粒子系の経験測度がMcKean-Vlasov SDEの解に強い収束することを確立する。
• 熱核推定に強く依存するKrylov-Röcknerの枠組みを拡張することで、混合$L^p$-ドリフトを持つSDEの強い適切性を証明する。
• 有界可測相互作用カーネルの場合、適切な正則性仮定の下で、最適収束レート$\varepsilon^\beta$（$\beta \in (0, \gamma_0)$）が得られる。
• 収束レートはエントロピー法とZvonkin変換の組み合わせにより導出され、$\gamma \in (0,1)$ に対して $\mathbb{E}|X^{N,1}_t - X_t|^{2\gamma} \lesssim \varepsilon^{2\beta}$ が成り立つ。
• $L^\infty$-ノルム差 $\|\rho^\varepsilon_t - \rho_t\|_{L^\infty} \lesssim t^{-\beta/2} \varepsilon^\beta$ が成り立ち、密度の観点からの収束レートが確認される。
• 解析は、熱核推定と相互作用カーネルの正則性によって制御されるカーネルを持つボルテラ型グローヴァル不等式を密度差に適用することに依存する。