[論文レビュー] Strong convergence of the tamed and the semi-tamed Euler schemes for stochastic differential equations with jumps under non-global Lipschitz condition

Antoine Tambue, Jean Daniel Mukam|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非グローバルリプシッツ条件の下でジャンプを伴う確率的微分方程式（SDE）に対して、tamedおよびsemi-tamed Eulerスキームを提案し、α ∈ [1/2, 1] において標準的な収束次数 1/2 の強収束を証明する。両スキームの線形安定性および指数安定性を確立し、特に α → 1 に近づく際の優れた安定性性能を示す。数値シミュレーションを通じて、semi-tamedスキームがtamedおよび補正済みtamedバージョンを上回ることを実証する。

ABSTRACT

We consider the explicit numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian process and Poisson jump. It is well known that under non-global Lipschitz condition, Euler Explicit method fails to converge strongly to the exact solution of such SDEs without jumps, while implicit Euler method converges but requires much computational efforts. We investigate the strong convergence, the linear and nonlinear exponential stabilities of tamed Euler and semi-tamed methods for stochastic differential equation driven by Brownian process and Poisson jumps, both in compensated and non compensated forms. We prove that under non-global Lipschitz condition and superlinearly growing drift term, these schemes converge strongly with the standard one-half order. Numerical simulations to substain the theoretical results are provided.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ条件の下で、超線形のドリフトを有するSDEの正確な解への標準的なEuler-Maruyama法の収束失敗を解消すること。
• ブラウン運動およびポアソンジャンプの両方によって駆動されるSDEに、tamedおよびsemi-tamed Eulerスキームを拡張し、補正済みおよび非補正済みの両形式を含めること。
• α ∈ [0,1] の範囲で、tamedおよびsemi-tamedスキームの線形および指数的平均二乗安定性を厳密に分析し、特に α → 1 に近づく際の安定性向上に注目すること。
• 異なるスキームおよびパrameter選択の下での収束性と安定性を比較する数値シミュレーションを通じて、理論的予測を検証すること。

提案手法

• ドリフト項の分母に taming パrameter α ∈ [1/2, 1] を導入することで、超線形成長を制御するtamed Eulerスキームを導入する。
• u がグローバルリプシッツで、v が非グローバルリプシッツであるという分解 f = u + v を用いて、semi-tamedスキームを構築する。
• ジャンプ成分の解析においてマーチングール特性を保証するために、補正済みポアソン過程を適用する。
• 伊藤の公式、モーメント推定、およびグローバル型不等式を用いて、片側リプシッツ条件および多項式成長条件の下での強収束を証明する。
• 時間刻み Δt とパrameter α に関する条件を導出することで、線形および指数的平均二乗安定性を分析する。
• 参照解を Δt = 2−16 で得た 5000〜7000 本のサンプルパスを用いた数値シミュレーションにより、収束性および安定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α ∈ [1/2, 1] の場合に、非グローバルリプシッツ条件の下でジャンプを伴うSDEに対して、tamedおよびsemi-tamed Eulerスキームが強収束次数 1/2 を達成できるか？
• RQ2 tamedおよびsemi-tamedスキームは、同一の条件下で正確な解の線形および指数的平均二乗安定性を保持するか？
• RQ3 α ∈ [1/2, 1] の選択が、α ∈ (0, 1/2] と比較してスキームの安定性および収束性に与える影響は何か？
• RQ4 semi-tamedスキームは、安定性および収束性の観点で、tamedおよび補正済みtamedスキームを上回る性能を示すか？
• RQ5 α → 1 に近づく際に、tamedおよび補正済みtamedスキームの安定性特性にどのような影響があるか？

主な発見

• 非グローバルリプシッツ条件および超線形ドリフト成長の下でも、tamedおよびsemi-tamed Eulerスキームは α ∈ [1/2, 1] の場合に、標準的な収束次数 1/2 の強収束を達成する。これは、従来の結果が α ∈ (0, 1/2] に限られていたのを拡張するものである。
• 数値実験において、semi-tamedスキームはtamedおよび補正済みtamedスキームに比べ、優れた安定性および収束性能を示す。
• α → 1 に近づくと、tamedおよび補正済みtamedスキームは安定性が向上し、semi-tamedスキームの挙動に近づく。
• 線形SDEでは、semi-tamedスキームは Δt < 0.048（ケースI）および Δt < 0.0245（ケースII）で線形平均二乗安定性を保持し、理論的予測と一致する。
• 非線形SDEでは、semi-tamedスキームは Δt < 0.22 で指数的平均二乗安定性を再現し、理論的境界と整合的である。
• 数値結果から、tamedおよび補正済みtamedスキームが、α ∈ (0, 1/2] の先行研究と比較して優れた安定性特性を示すことが確認され、特に α → 1 に近づく際の改善が顕著である。