[論文レビュー] Strong convergence rate for two classes of implementable methods for SDEs driven by fractional Brownian motions

Jialin Hong, Chuying Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Hurstenパラメータ H ∈ (1/2, 1) を持つ多次元分数 Browm運動によって駆動されるSDEに適用される実装可能なRunge--Kuttaおよび簡略化されたステップ-N オイラースキームに対して、強い収束速度 2H − 1/2 を確立する。解析は順序条件および Hölder 連続性に基づき、Deya (2012) の予想を H > 1/2 の場合に解消する。

ABSTRACT

We investigate the strong convergence rate of both Runge--Kutta methods and simplified step-$N$ Euler schemes for stochastic differential equations driven by multi-dimensional fractional Brownian motions with $H\in(\frac12,1)$. These two classes of numerical schemes are implementable in the sense that the required information from the driving noises are only their increments. We prove the solvability of implicit Runge--Kutta methods and the continuous dependence of their continuous versions with respect to the driving noises in H\older semi-norm. Based on these results, the order conditions are proposed for the strong convergence rate $2H-\frac12$, which is caused by the approximation of the L\'evy area type processes. We get the same strong convergence rate for simplified step-$N$ Euler schemes by comparing them with an explicit Runge--Kutta method. This gives an answer to the conjecture in \cite{Deya} for $H\in(\frac12,1)$.

研究の動機と目的

• H ∈ (1/2, 1) を持つ分数 Browm運動によって駆動されるSDEに対する実装可能な数値スキームの強い収束速度を確立すること。
• 駆動ノイズの増分のみを必要とする実装可能なスキームの欠如を補うために、必要なのは駆動ノイズの増分のみであることを保証すること。
• Deya (2012) における H > 1/2 の場合の収束速度に関する予想を解消すること。
• H"older 半ノルムにおける陰的 Runge--Kutta 法の可解性および駆動ノイズへの連続的依存性を証明すること。

提案手法

• 強い収束速度 2H − 1/2 を達成するために特化した順序条件を提案し、これは Lévy 面積型過程の近似に起因する。
• 連続的な Runge--Kutta スキームの連続的バージョンが駆動ノイズに依存する Hölder 半ノルムにおける連続的依存性を分析する。
• 分数 Browm 運動の増分のみを用いて実装可能な簡略化されたステップ-N オイラー スキームを構築する。
• 簡略化されたステップ-N オイラー スキームと明示的 Runge--Kutta 法を比較し、同じ収束速度を達成することを導出する。
• H"older 半ノルムフレームワークを用いて、駆動ノイズの摂動に対して安定性および収束性を保証する。
• H"older 空間における固定点法を用いて、陰的 Runge--Kutta スキームの可解性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H ∈ (1/2, 1) を持つ分数 Browm 運動によって駆動されるSDEに対する実装可能な数値スキームが達成可能な最良の強い収束速度は何か？
• RQ2 H"older 半ノルムフレームワークにおいて、陰的 Runge--Kutta 法が可解であり、かつ駆動ノイズに連続的に依存することは証明可能か？
• RQ3 簡略化されたステップ-N オイラー スキームは、同じ条件下で明示的 Runge--Kutta 法と同等の収束速度を達成できるか？
• RQ4 Deya (2012) で予想された通り、実装可能なスキームにおいて収束速度 2H − 1/2 は達成可能か？
• RQ5 順序条件は、fBm によって駆動されるSDEの文脈において、Lévy 面積型過程の近似とどのように関連しているか？

主な発見

• 陰的 Runge--Kutta 法および簡略化されたステップ-N オイラー スキームの両方において、強い収束速度 2H − 1/2 が達成された。
• 収束速度 2H − 1/2 を保証する順序条件が導出され、特に Lévy 面積型過程の近似に密接に関連している。
• H"older 半ノルムにおいて、陰的 Runge--Kutta スキームの可解性および駆動ノイズへの連続的依存性が証明された。
• 簡略化されたステップ-N オイラー スキームが、明示的 Runge--Kutta 法と同等の収束速度を達成することが示された。
• Deya (2012) における H ∈ (1/2, 1) の場合の収束速度に関する予想が、実装可能なスキームにおいて確認された。
• 解析により、実装には分数 Browm 運動の増分のみが必要であることが確認され、実用的実装可能性が保証された。