[論文レビュー] Strong convergence rate in averaging principle for stochastic hyperbolic-parabolic equations with two time-scales

Hongbo Fu, Li Wan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの時間スケールを有する確率的放物型・放物型方程式における平均化原理に対して、$1/2$ 階の強い収束速度を確立している。両方の成分（遅い成分と速い成分）が乗法的ノイズによって駆動されるが、速い成分の不変測度と混合性の分析を通じて、簡略化された平均化方程式を導出し、エネルギー推定とグローヴァル型不等式を用いて最適な収束性を証明している。これは、従来の$1/4$のレートを著しく改善したものである。

ABSTRACT

In this article, we investigate averaging principle for stochastic hyperbolic-parabolic equations with two time-scales, in which both the slow and fast components are perturbed by multiplicative noises. Particularly, we prove that the rate of strong convergence for the slow component to the averaged dynamics is of order $1/2$, which significantly improves the order $1/4$ established in our previous work.

研究の動機と目的

• 2つの時間スケールを有する確率的放物型・放物型系における遅い成分の平均化動力学への強い収束速度を確立すること。
• 特に無限次元設定において、乗法的ノイズを有するSPDEの収束速度に関するギャップを埋めること。
• 適切な混合性および正則性条件の下で、従来の$1/4$のレートを上回る最適な$1/2$のレートを証明すること。
• 遅い成分と速い成分の両方に乗法的ノイズが存在する際の、その平均化動力学への影響を分析すること。

提案手法

• 2つの時間スケールを有する確率的放物型方程式と放物型方程式の連立系を定式化し、乗法的ノイズによって駆動される。
• 速い成分を統合することで、遅い成分の簡略化された有効方程式を平均化原理を用いて導出する。
• ドリフトおよび拡散係数に適切な条件を課すことにより、速い成分の不変測度の存在と一意性、および混合性を確立する。
• エネルギー推定とグローヴァル型不等式を用いて、元の系と平均化系との差を制御する。
• 遅い変数の変化に対する速い成分の応答の摂動解析を通じて、平均化ドリフトの導関数の境界を導出する。
• 指数的減衰推定と確率的積分法を用いて、強い意味での$1/2$収束速度を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの時間スケールを有する確率的放物型・放物型系において、乗法的ノイズが存在する場合の遅い成分の最適な強い収束速度は何か？
• RQ2 遅い成分と速い成分の両方が乗法的ノイズによって駆動される場合、収束速度を$1/4$から$1/2$に向上させることは可能か？
• RQ3 速い成分の混合性および不変測度が、遅い成分の平均化動力学にどのように影響を与えるか？
• RQ4 乗法的ノイズ構造が、平均化原理の収束速度を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 非加法的ノイズを有する無限次元SPDEにおいて、収束速度は確立可能か？その場合、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 遅い成分の平均化動力学への強い収束速度が$1/2$階であることが証明され、これは最適であり、従来の$1/4$レートを著しく上回る。
• 収束速度は、遅い成分と速い成分の両方が乗法的ノイズによって駆動されるという状況下でも達成されており、通常はレートが低下するが、本稿ではそれを回避している。
• 証明は、速い成分に一様に依存する遅い変数に関する平均化ドリフトの導関数の指数的減衰を確立することに依存している。
• 平均化ドリフトとその導関数の差に一様な境界を導出し、$\|\tilde{F}_{t_0}(x_1,y,t) - \tilde{F}_{t_0}(x_2,y,t)\| \leq C(1+\|y\|)\|x_1 - x_2\|e^{-ct}$ を示している。
• 収束結果は、速い成分の混合性と一意な不変測度の存在を保証する条件下で成立する。
• 解析により、$1/2$レートが無限次元SPDEにおいて達成可能であることが確認され、分野における未解決問題に答えている。