[論文レビュー] Strong convergence rate of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、空間的スペクトルガラーキン法と時間的加速付き陰的エイラー法を組み合わせた完全離散化スキームを、空間-時間白色ノイズを伴う確率的カーン＝ヒリャード方程式に対して提案する。負のソボレフ空間における最適な強い収束速度を確立し、空間的収束が鋭く、時間的スーパー収束を示す。これは、空間-時間白色ノイズ下でのこの方程式に対して、初めてのこのような結果である。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

研究の動機と目的

• 空間-時間白色ノイズによって駆動される確率的カーン＝ヒリャード方程式に適用された数値スキームにおける強い収束速度の結果の欠如に対処すること。
• 正確な解および数値解の両方に対する最適な正則性および一様なモーメントバウンズを確立すること。
• 提案された完全離散化に対する負のソボレフ空間における鋭い強い収束速度を導出すること。
• 補間的手法を用いて一般のノイズおよび高次元ケースへの収束解析を拡張すること。
• 強い収束の意味で、空間的最適収束および時間的スーパー収束が達成可能かどうかを示すこと。

提案手法

• 確率的カーン＝ヒリャード方程式の空間的成分を近似するために、空間的スペクトルガラーキン法が用いられる。
• 時間発展を離散化するために、時間的加速付き陰的エイラー法が使用され、安定性と収束性が保証される。
• 正則性推定と強いノルムにおける収束速度の導出を橋渡しするために、補間技術が適用される。
• 理論的解析により、正確な解および数値解の両方の最適な正則性特性および一様なモーメントの有界性が確立される。
• 同じ補間フレームワークを用いて、一般の乗法的ノイズおよびより高い空間次元への拡張がなされる。
• 空間-時間白色ノイズによる粗さを扱うために、負のソボレフ空間において収束解析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間-時間白色ノイズを伴う確率的カーン＝ヒリャード方程式の完全離散化スキームにおける強い収束速度は何か？
• RQ2 この方程式において、強い収束の意味で最適な空間収束および時間的スーパー収束を達成できるか？
• RQ3 提案されたスキーム下で、正確な解および数値解の正則性とモーメントバウンズはどのように振る舞うか？
• RQ4 補間手法は、任意のノイズ構造および高次元ケースに一般化可能か？
• RQ5 この問題における負のソボレフ空間における収束速度の鋭さは何か？

主な発見

• 提案された数値法は、空間-時間白色ノイズを伴う確率的カーン＝ヒリャード方程式に対して、負のソボレフ空間における鋭い強い収束速度を達成する。
• 補間手法を通じて最適な空間収束速度が導出され、この手法の空間的精度が裏付けられる。
• 時間的スーパー収束が確立され、標準的手法よりも速い収束が時間方向で示される。
• 正確な解および数値解の両方に対して、一様なモーメントバウンズおよび最適な正則性特性が証明される。
• 補間に基づく解析は、一般のノイズおよび高次元設定へと成功裏に拡張され、強い収束結果が得られる。
• 本研究は、空間-時間白色ノイズによって駆動される確率的カーン＝ヒリャード方程式に適用された数値スキームにおける、初めての強い収束速度の結果を提示する。