[論文レビュー] Strong convergence rates and temporal regularity for Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes with accessible boundaries

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、境界が到達可能である場合のCox-Ingersoll-Ross（CIR）過程およびBessel過程のドリフト隠し平方根Euler近似に対して、正の強い収束速度を確立している。Hestonモデルのシミュレーションにおいて特に重要である。主な貢献は、境界が到達可能で $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ であるような設定下で、$ p \in (0,\infty) $ に対して $ L^p $-強い収束速度 $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $ を証明することであり、Bessel過程の $ L^p $ 内での時間的 $ \frac{1}{2} $-ホーラー連続性に依拠している。

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are widely used in financial modeling such as in the Heston model for the approximative pricing of financial derivatives. Moreover, CIR processes are mathematically interesting due to the irregular square root function in the diffusion coefficient. In the literature, positive strong convergence rates for numerical approximations of CIR processes have been established in the case of an inaccessible boundary point. Since calibrations of the Heston model frequently result in parameters such that the boundary is accessible, we focus on this interesting case. Our main result shows for every $p \in (0, \infty)$ that the drift-implicit square-root Euler approximations proposed in Alfonsi (2005) converge in the strong $L^p$-distance with a positive rate for half of the parameter regime in which the boundary point is accessible. A key step in our proof is temporal regularity of Bessel processes. More precisely, we prove for every $p \in (0, \infty)$ that Bessel processes are temporally $1/2$-Hölder continuous in $L^p$.

研究の動機と目的

• 境界点ゼロが到達可能な場合のCIR過程の時間離散近似における正の強い収束速度を確立すること。これはHestonモデルのキャリブレーションにおいて一般的な状況である。
• 境界が到達可能である場合のCIR過程における収束速度結果の欠落を解消すること、特に $ 2\delta < \beta^2 $ のパrameter領域において。
• Bessel過程の $ L^p $ 内での時間的 $ \frac{1}{2} $-ホーラー連続性を証明すること。これは主な収束結果を導くための重要な技術的道具である。
• 数値的に安定で金融工学で広く用いられるドリフト隠し平方根Eulerスキームへの収束速度分析を拡張すること。

提案手法

• CIR過程の平方根変換を用いて、加法的ノイズを伴うBessel型SDEを導出し、境界が到達可能な状況での解析を可能にする。
• Alfonsi（2005）が提唱したドリフト隠し平方根Eulerスキームを用い、$ X_t $ の近似において非負性と安定性を保証する。
• 境界付近でのドリフト係数を制御するために、$ q < \frac{2\delta}{\beta^2} $ に対して $ X_t^{-q} $ のモーメントバウンドを確立する。
• 測度変換と $ \phi(x) = \frac{2}{\beta}\sqrt{x} $ の変換を用いて、強収束解析に適した形に問題を変換する。
• 時間的正則性とモーメント推定を組み合わせ、線形補間近似の $ L^p $-ノルムにおける最終的な収束速度を導出する。
• CIR過程のSDEを $ Z_t = \sqrt{X_t} $ で変換し、Bessel型SDEに帰着させる。
• 指数的逆モーメントの分析と伊藤の補題を用いて、Bessel過程の $ L^p $ 内での時間的 $ \frac{1}{2} $-ホーラー正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が到達可能な場合のCIR過程に対するドリフト隠し平方根Eulerスキームの強収束速度は何か？
• RQ2 境界が到達可能であっても、Bessel過程の $ L^p $ 内での時間的 $ \frac{1}{2} $-ホーラー連続性は確立可能か？
• RQ3 到達可能な境界領域における $ X_t^{-q} $ のモーメント推定はどのように振る舞い、収束解析においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ の場合に $ L^p $-強い収束で達成可能な最良の収束速度は何か？また、$ p $ に依存するか？
• RQ5 到達可能な境界条件下で、$ L^p $-ノルムにおける収束速度を $ \frac{1}{2} $-レートを超えて改善できるか？

主な発見

• 境界が到達可能で $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ である限り、任意の $ p \in (0,\infty) $ に対してドリフト隠し平方根Euler近似は $ L^p $-ノルムで $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $ の収束速度を示す。
• すべての $ p \in (0,\infty) $ に対してBessel過程は $ L^p $ 内で時間的 $ \frac{1}{2} $-ホーラー連続である。これは指数的逆モーメント推定を用いて証明された。
• $ \delta > \frac{\beta^2}{4} $ の場合、$ p $ が小さいと $ L^p $-ノルムにおける収束速度は $ \frac{1}{2} $ を超える。これは改善された正則性を反映している。
• 収束速度は時間区間 $ [0,T] $ 全体にわたって一様であり、$ 2\delta/\beta^2 $ が1からの距離と $ p $ の選択に依存する。
• 解析により、ドリフト隠しスキームが境界が到達可能であっても安定かつ収束することを確認し、文献における空白を埋めた。
• 本手法はCIRおよびBessel過程の両方へ適用可能であり、CIR過程は平方根変換によりBessel型SDEに帰着される。