[論文レビュー] Strong convergence rates for an explicit numerical approximation method for stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、非グローバルリプシッツ連続な非線形項を伴う半線形確率的発展方程式に対する、明示的かつ容易に実装可能な数値スキームを提案する。非線形項を停止させる指数型Eulerスキームを導入し、ブートストラップ型の議論を用いることで、この文脈で初めてLpノルムにおける強い収束速度を確立した。全離散スキームの収束速度は、最大で1/2次の収束を得た。

ABSTRACT

In this article we propose a new, explicit and easily implementable numerical method for approximating a class of semilinear stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities. We establish strong convergence rates for this approximation method in the case of semilinear stochastic evolution equations with globally monotone coefficients. Our strong convergence result, in particular, applies to a class of stochastic reaction-diffusion partial differential equations.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ連続な非線形項を伴う確率的発展方程式に対する明示的かつ計算効率の良い数値法の開発。
• 非グローバルリプシッツだがグローバルに単調な係数を有する文脈において、そのような手法の強い収束速度の確立。
• 超線形に成長する非線形項を伴う方程式に古典的明示スキーム（例：Euler-Maruyama法）を適用した場合に生じる発散問題の克服。
• 特に確率的反応拡散方程式を対象として、収束速度が明確に定量化された完全離散近似スキームの提供。
• 有限次元SODEに限局した明示スキームの収束理論を、非グローバルリプシッツ非線形項を有する無限次元SPDEへと拡張すること。

提案手法

• 非線形項の大きさに基づいて現在の近似値に応じて非線形項を打ち切る『非線形項停止型指数Eulerスキーム』を提案し、発散を防ぐ。
• ブートストラップ型の議論を用いて、停止スキームのための強化された事前モーメントバインディングを導出し、安定性を保証する。
• 停止スキームとその半線形対応物との差分を分析することで、時間誤差の強い推定を確立する。
• 停止スキームに空間的スペクトルガラーキン離散化を適用し、空間方向の収束速度を導出する。
• 有限次元ウィーナー過程によるノイズ離散化を統合し、空間・時間・ノイズを含む全離散スキームの収束速度を導出する。
• 解過程の正則性推定と補間空間を用いて誤差解析における誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的かつ容易に実装可能な数値スキームが、非グローバルリプシッツ連続な非線形項を伴う半線形SPDEに対して強い収束を達成できるか？
• RQ2 グローバルに単調だが非グローバルリプシッツな非線形項の下で、そのような明示スキームが達成可能な最良の強い収束速度は何か？
• RQ3 超線形成長を伴う文脈において、停止スキームのための事前モーメントバインディングをどのように強化すれば収束を保証できるか？
• RQ4 空間離散化とノイズ離散化が、全離散スキームの総合的収束速度に与える影響は何か？
• RQ5 提案された手法は、多項式非線形項を伴う確率的反応拡散方程式へ適用可能か？

主な発見

• 提案された非線形項停止型指数Eulerスキームは、すべてのp ∈ [2, ∞)に対してLpノルムで強い収束を達成する。
• スキームの収束速度は、初期データの正則性パラメータγに対して任意のη ∈ [γ, 1/2)で、η次の強い収束速度を達成する。
• 全離散スキームにおいて、Lpノルムにおける収束速度はO(N^{-η} + n^{-2η} + m^{-2η})である。ここで、Nは時間ステップ、nは空間ガラーキン次元、mはノイズ切断レベルを表す。
• 適切な正則性仮定の下で、ηを1/2に近づけることで収束速度を1/2に限りなく近づけることができる。
• 本手法は、非グローバルリプシッツ非線形項を伴うSPDEに対して強い収束速度を達成する最初の明示的完全離散スキームである。
• 解析により、立方非線形項と乗法的ノイズを伴う確率的反応拡散方程式に対しても、このスキームが安定かつ収束することが確認された。