[論文レビュー] Strong convergence rates for nonlinearity-truncated Euler-type approximations of stochastic Ginzburg-Landau equations

S. Becker, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、空間時間白色ノイズで駆動される確率的ジンツブルク=ランダウ方程式に対して、非線形性を切り詰めたオイラー型スキームを提案する。これは、従来の強収束結果が得られていなかったケースである。本稿では、抽象的バナッハ空間およびヒルベルト空間における新たな経路的誤差推定と事前評価を用いて、指数型および線形陰的オイラー型スキームのほぼ鋭い強収束速度を確立する。

ABSTRACT

This article proposes and analyzes explicit and easily implementable temporal numerical approximation schemes for additive noise-driven stochastic partial differential equations (SPDEs) with polynomial nonlinearities such as, e.g., stochastic Ginzburg-Landau equations. We prove essentially sharp strong convergence rates for the considered approximation schemes. Our analysis is carried out for abstract stochastic evolution equations on separable Banach and Hilbert spaces including the above mentioned SPDEs as special cases. We also illustrate our strong convergence rate results by means of a numerical simulation in Matlab.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズで駆動されるSPDEに、非線形項の増大度が超線形である場合に、明示的スキームの強収束結果が不足している問題を解決する。
• 空間時間白色ノイズの下で、実装が容易な明示的スキームの強収束を確立することで、既存の文献におけるギャップを埋める。
• 非線形性を切り詰めた指数型および線形陰的オイラースキームを、確率的ジンツブルグ=ランダウ方程式に適用した場合の、ほぼ鋭い強収束速度を提供する。
• SPDEが特別な場合として含まれる、分離可能なバナッハ空間およびヒルベルト空間上での抽象的確率的発展方程式への収束解析を拡張する。
• Matlabを用いた数値シミュレーションを通じて理論的結果を検証し、収束速度を経験的に確認する。

提案手法

• 非線形項の成長を抑えるために、数値スキームにおける非線形性の切り詰め機構を導入する。
• 2つの明示的スキームを提案する：非線形性を切り詰めた指数型オイラースキームと、非線形性を切り詰めた線形陰的オイラースキーム。
• 変分的およびボトムアップ的議論を用いて、適切な関数空間における正確解および数値解の事前評価を導出する。
• 正確解とその半線形統合形との間、および数値近似とその半線形統合形との間の経路的誤差推定を確立する。
• 三角不等式とモーメント推定を用いて、正確解と数値解との間の総誤差を評価する。
• 半群性質および作用素ノルム推定を活用して、時間区間全体にわたる誤差の時間的発展を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間白色ノイズで駆動される確率的ジンツブルグ=ランダウ方程式に対して、明示的かつ実装が容易な数値スキームが強収束を達成できるか？
• RQ2 この設定下で、非線形性を切り詰めたオイラー型スキームが達成可能な最良の強収束速度は何か？
• RQ3 変分的およびボトムアップ的議論は、非線形項が超線形的に増大するSPDEの解に対して、鋭い事前評価を導出するためにどのように寄与するか？
• RQ4 提案された切り詰め戦略は、非線形項の超線形的増大を効果的に抑制し、強収束を保証できるか？
• RQ5 切り詰め閾値の選択が、数値スキームの収束速度および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿では、空間時間白色ノイズで駆動される確率的ジンツブルグ=ランダウ方程式に非線形性を切り詰めた指数型オイラースキームを適用した場合、ほぼ鋭い強収束速度を確立した。
• 非線形性を切り詰めた指数型オイラースキームに対しては、適切な初期データのモーメントのもとで、任意の $ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $ に対して、$ L^p $-ノルムにおける収束速度が $ M^{-\theta} $ のオーダーとなる。ここで $ p \in (0, \infty) $ である。
• 非線形性を切り詰めた線形陰的オイラースキームに対しては、$ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $ に対して、収束速度が $ M^{-\min(\vartheta\chi, \theta)} $ のオーダーとなる。ここで $ \vartheta > 0 $、$ \chi \in (0, \frac{1}{2n}] $、$ p \geq 2 $ であり、初期データの正則性が適切に満たされている。
• 誤差伝播の解析により、与えられた仮定のもとで指数 $ \frac{1}{4} $ を改善できないことから、収束結果は鋭いとされる。
• 理論的収束速度は、Matlabを用いた数値シミュレーションにより経験的に検証され、予測された速度と整合性を示した。
• 本分析は、分離可能なバナッハ空間およびヒルベルト空間上での広範な抽象的確率的発展方程式に適用可能であり、SPDE（例えば、確率的ジンツブルグ=ランダウ方程式）が特別な場合として含まれる。