[論文レビュー] Strong convergence rates of semi-discrete splitting approximations for stochastic Allen--Cahn equation

Charles-Édouard Bréhier, Jianbo Cui+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、d ≤ 3 の次元における加法的ノイズ付きの確率的Allen-Cahn方程式を解くために、指数Euler積分と変分的アプローチを組み合わせた半離散分割スキームを提案する。最良の強い収束速度を確立した：d=1における空間時間白色ノイズでは O(δt^{1/4})、空間的に滑らかなノイズでは O(δt) であり、単調性と指数的積分可能性の推定を用いる。

ABSTRACT

This article analyzes an explicit temporal splitting numerical scheme for the stochastic Allen-Cahn equation driven by additive noise, in a bounded spatial domain with smooth boundary in dimension $d\le 3$. The splitting strategy is combined with an exponential Euler scheme of an auxiliary problem. When $d=1$ and the driving noise is a space-time white noise, we first show some a priori estimates of this splitting scheme. Using the monotonicity of the drift nonlinearity, we then prove that under very mild assumptions on the initial data, this scheme achieves the optimal strong convergence rate $\OO(δt^{\frac 14})$. When $d\le 3$ and the driving noise possesses some regularity in space, we study exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Finally, in dimension $d=1$, these properties are used to prove that the splitting scheme has a strong convergence rate $\OO(δt)$.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ性を有する駆動項 F(x) = x - x^3 を有する確率的Allen-Cahn方程式に適用する時間分割スキームの最良の強い収束速度を導出すること。
• 特に確率的相場モデルの文脈において、非リプシッツ係数を有するSPDEの強い収束速度に関する未解決問題に取り組むこと。
• 初期データに最小限の仮定を置き、空間時間白色ノイズや空間的に滑らかなノイズを含むさまざまなノイズタイプに対して収束を確立すること。
• 確率的解析とGronwall型の議論を用いて鋭い誤差推定を可能にするために、正確な解と数値解の両方の指数的積分可能性を確立すること。
• 先行研究における未解決の問いを解決し、d=1における空間時間白色ノイズに対して強い収束速度 O(δt^{1/4}) を示すこと。

提案手法

• 動的挙動を線形および非線形部分に分割することで、半離散分割スキームを構築する：Y_n = Φ_{δt}(X_n)，X_{n+1} = S_{δt} Y_n + ∫_{t_n}^{t_{n+1}} S(t_{n+1}-s) dW^Q(s)，ここで Φ_{δt} は非線形ODE dX = F(X)dt の位相フローを表す。
• スケームは、修正された非線形性 Ψ_{δt} を有する補助問題に適用される指数Euler法として再定式化され、安定性および収束解析が可能になる。
• 変分的アプローチを用いて事前推定を導出し、駆動項 F(x) = x - x^3 の単調性を活用して非線形成長を制御する。
• 確率的畳み込み推定とSobolev埋蔵を用いて、H^1 および H^2 空間におけるモーメントバウンドにより、正確な解と数値解の両方の指数的積分可能性を確立する。
• 離散Gronwallの不等式、HölderおよびYoungの不等式、および ‖X(s)‖_{H^1} と ‖Z^N(s)‖_{H^1} を含むモーメント推定を用いて、強い収束速度を導出する。
• d=1 で空間時間白色ノイズの場合、初期データにやや弱い仮定のもとで O(δt^{1/4}) の収束速度が証明される。空間的に滑らかなノイズでは、より強い積分可能性と正則性を用いて O(δt) の収束速度が達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d=1 における空間時間白色ノイズ付きの確率的Allen-Cahn方程式に対して、半離散分割スキームの最良の強い収束速度は何か？
• RQ2 適切なノイズの正則性のもとで、分割スキームは O(δt^{1/2}) よりも高い収束速度を達成できるか？
• RQ3 正確な解と数値解の指数的積分性が、非リプシッツSPDEにおける誤差推定にどのように寄与するか？
• RQ4 非グローバルリプシッツな駆動項を有する場合でも、打ち切りや tame なしで強収束を維持できるか？
• RQ5 駆動項 F(x) = x - x^3 の単調性が、このクラスのSPDEにおける最良の収束速度を可能にする役割は何か？

主な発見

• d=1 および空間時間白色ノイズの場合、初期データに最小限の仮定（X_0 ∈ H^2）を置く条件下で、分割スキームは最良の強い収束速度 O(δt^{1/4}) を達成する。
• 空間的に滑らかなノイズで ‖(-A)^{1/2}Q‖_{L_2^0} < ∞ が成り立つ場合、任意の p ≥ 1 に対して L^p(Ω) 範囲で改善された強い収束速度 O(δt) を達成する。
• 証明は、変分的アプローチの新規な応用と、解および数値スキームの指数的積分可能性に依存しており、モーメントバウンドを用いて非線形項を制御可能である。
• 解および数値近似の L^6 および L^{12} モーメント推定を確立し、離散Gronwallの議論における誤差項のバウンドに不可欠である。
• スキームは明示的かつ無条件安定であり、打ち切りや tame が必要ない。また、事前の収束速度推定なしに強い収束性が示された。
• 本結果は、[4]で提起された空間時間白色ノイズ付きの確率的Allen-Cahn方程式に対する分割スキームの強い収束速度に関する未解決の問いを解決する。