[論文レビュー] Strong convergence theorems for strongly relatively nonexpansive sequences and applications

Koji Aoyama, Yasunori Kimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかで一様凸なバナッハ空間における強く相対的非拡張性を持つ列に対して、強い収束定理を確立し、パラメータに関する最小限の仮定の下で収束を示している。主な結果は、双対写像と解像写像を用いて定義される反復列が、正則化パラメータが発散しない場合でも、最大単調作用素のゼロ点または相対的非拡張写像の不動点に強く収束することを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish strong convergence theorems for a strongly relatively nonexpansive sequence in a smooth and uniformly convex Banach space. Then we employ our results to approximate solutions of the zero point problem for a maximal monotone operator and the fixed point problem for a relatively nonexpansive mapping.

研究の動機と目的

• 滑らかで一様凸なバナッハ空間における強く相対的非拡張性を持つ列の強い収束定理を確立すること。
• 反復列が $ r_n \to \infty $ を要求しない場合に強い収束するかどうかという未解決問題に取り組むこと。これはこれまで不明であった。
• 主な収束結果を最大単調作用素のゼロ点問題および相対的非拡張写像の不動点問題に応用すること。
• パラメータ $ r_n $ や $ \alpha_n $ に対する仮定を緩和しながらも、強い収束を維持するように既存の収束結果を一般化すること。

提案手法

• 滑らかで一様凸なバナッハ空間の文脈において、強く相対的非拡張性を持つ列の概念を導入し、分析すること。
• 双対写像 $ J $ 及びその逆写像 $ J^{-1} $ を用いて、$ A $ を最大単調作用素とするとき、解像写像 $ (J + r_n A)^{-1}J $ を含む反復列を定義すること。
• Maingé (2008) の補題 3.2 を基本的な道具として用い、$ \phi(x,y) = \|x\|^2 - 2\langle x, Jy \rangle + \|y\|^2 $ で定義される $ \phi $-関数を介して列の挙動を制御すること。
• 列に対して条件 (Z) を確立する：$ x_n - S_n x_n \to 0 $ ならば、$ \{x_n\} $ の任意の弱収束点が共通不動点集合に属する。
• $ T $ が相対的非拡張写像であるとき、$ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ で定義される列 $ \{S_n\} $ が強く相対的非拡張性を持つことを証明すること。
• 一様滑らかかつ一様凸な空間において、$ x_n - y_n \to 0 \Leftrightarrow Jx_n - Jy_n \to 0 \Leftrightarrow \phi(x_n, y_n) \to 0 $ の同値性を用いて収束を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復列 $ x_{n+1} = J^{-1}\left( \frac{1}{n}Jx + \left(1 - \frac{1}{n}\right)J(J + r_n A)^{-1}Jx_n \right) $ が $ r_n \not\to \infty $ であっても、最大単調作用素 $ A $ のゼロ点に強く収束するための条件は何か？
• RQ2 一様非拡張でないが、強く相対的非拡張性を持つ写像列 $ \{S_n\} $ に対して、強い収束を保証できるか？
• RQ3 パラメータ $ \alpha_n \to 0 $、$ \sum \alpha_n = \infty $、および $ \beta_n $ が 0 と 1 から有界に離れているとき、相対的非拡張写像に対して収束結果は成り立つか？
• RQ4 双対写像と凸結合を用いて定義される列 $ \{x_n\} $ が解集合における最近点に強く収束するための条件は何か？
• RQ5 正則化パラメータ $ r_n $ が無限大に発散するのではなく、0 から有界に離れている場合に、収束定理を拡張できるか？

主な発見

• 定理 4.1 は、滑らかで一様凸なバナッハ空間における強く相対的非拡張性を持つ列によって生成される反復列の強い収束を、パラメータに関する弱い条件の下で確立している。
• 定理 5.2 は、$ r_n $ が 0 から有界に離れており、$ \alpha_n \to 0 $、$ \sum \alpha_n = \infty $ であっても、列 $ \{x_n\} $ が $ x_{n+1} = J^{-1}(\alpha_n Ju + (1 - \alpha_n)JL_{r_n}x_n) $ で定義され、$ Q_{A^{-1}0}(u) $ に強く収束することを証明している。
• $ T $ が相対的非拡張であり、$ \beta_n \in (0,1) $ かつ $ \liminf \beta_n > 0 $ であるとき、$ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ で定義される列 $ \{S_n\} $ が強く相対的非拡張性を持つことが示されている。
• 条件 (Z) が $ \{S_n\} $ に対して検証された：$ x_n - S_n x_n \to 0 $ ならば、$ \{x_n\} $ の任意の弱収束点が $ F(T) $ に属する。これは収束にとって不可欠である。
• 定理 5.5 の収束結果は、[Nilsrakoo-Saejung] と同一の仮定の下で成り立つが、本論文は、強く相対的非拡張性を持つ列の一般枠組みを用いて、収束が保証されることを示している。
• 本論文は、$ r_n \to \infty $ を要求しない場合に強い収束が成り立つかどうかという未解決問題を解決し、定理 5.2 および注意 5.3 で肯定的に答えている。