[論文レビュー] Strong cosmic censorship for surface-symmetric cosmological spacetimes with collisionless matter

Mihalis Dafermos, Alan D. Rendall|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己重力的衝突なし物質（Einstein-Vlasov系で記述される）を有する表面対称な宇宙論的時空に対して、一般相対性理論における強い宇宙的裁縫いを確立し、一般条件下での最大コーシー発展の拡張不能性を証明する。$k \leq 0$ または $\Lambda \geq 0$ の場合にその予想を肯定的に解決し、$k=1$, $\Lambda>0$ の場合の時空境界の幾何的特徴付けを提供する。残りの障害は極端なブラックホール形成に起因する。

ABSTRACT

This paper addresses strong cosmic censorship for spacetimes with self-gravitating collisionless matter, evolving from surface-symmetric compact initial data. The global dynamics exhibit qualitatively different features according to the sign of the curvature $k$ of the symmetric surfaces and the cosmological constant $Λ$. With a suitable formulation, the question of strong cosmic censorship is settled in the affirmative if $Λ=0$ or $k\le0$, $Λ>0$. In the case $Λ>0$, $k=1$, we give a detailed geometric characterization of possible "boundary" components of spacetime; the remaining obstruction to showing strong cosmic censorship in this case has to do with the possible formation of extremal Schwarzschild-de Sitter-type black holes. In the special case that the initial symmetric surfaces are all expanding, strong cosmic censorship is shown in the past for all $k,Λ$. Finally, our results also lead to a geometric characterization of the future boundary of black hole interiors for the collapse of asymptotically flat data: in particular, in the case of small perturbations of Schwarzschild data, it is shown that these solutions do not exhibit Cauchy horizons emanating from $i^+$ with strictly positive limiting area radius.

研究の動機と目的

• 表面対称性を有する自己重力的衝突なし物質を有する時空において、一般相対性理論における強い宇宙的裁縫いを確立すること。
• コンパクトな初期データと表面対称性を有するEinstein-Vlasov系のグローバルな力学を解明すること。
• 最大コーシュー発展が拡張不能であるかどうかを特定し、一般初期データからの決定的進化を保証すること。
• 特に $k=1$, $\Lambda>0$ の場合における時空境界の構造を特徴付け、拡張不能性の障害を同定すること。

提案手法

• 表面対称性を用いてEinstein-Vlasov系を2+1次元有効系に還元し、光線座標系を用いて解析する。
• ハーキング質量と粒子電流の保存則を用いて、物質および曲率の進化を制御する。
• 時空積分推定とペネローズ図法的手法を用いて、解のグローバル構造および境界挙動を研究する。
• 拡張定理および拡張不能性基準を用いて、径方向光線的測地線および境界成分を分析する。
• クリストッフェル記号および曲率に関する局所的および高階の推定を用いて、正則性および特異点を制御する。
• $r=0$, $r=\infty$, およびホライズン点近辺における解の挙動を調査し、コーシュー・ホライズンが形成されるかどうかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面対称な初期データと衝突なし物質を有する場合、最大コーシュー発展がどのような条件下で拡張不能となるか。
• RQ2 $k=1$, $\Lambda>0$ の場合における時空の未来および過去の境界の幾何的構造は何か。
• RQ3 極端なシュバルツシルト＝デ・シータ型ブラックホールは形成可能か。また、それらは強い宇宙的裁縫いをどのように妨げるか。
• RQ4 $k\leq0$, $\Lambda\geq0$ の場合、解が一般に拡張不能なコーシュー発展を示すか。
• RQ5 拡張する均一解の任意に小さな近傍において、ホライズン点またはグローバルホライズンが発生するような摂動は存在するか。

主な発見

• $k\leq0$ または $\Lambda\geq0$ の場合、強い宇宙的裁縫いが成立する。最大コーシュー発展は拡張不能であり、決定的進化が保証される。
• $k=1$, $\Lambda>0$ の場合、時空境界は幾何的に特徴付けられる。裁縫いに対する唯一の障害は、極端なブラックホールの形成可能性に起因する。
• 反トラップ初期データの下では、すべての $k$ および $\Lambda$ に対して、過去において強い宇宙的裁縫いが成立する。曲率や宇宙定数にかかわらず成立する。
• 漸近的に平坦な崩壊において、スワルツシルト初期データの小さな摂動のもとで、$i^+$ から出る正の極限面積半径を有するブラックホール内部にコーシュー・ホライズンは形成されない。
• 拡張する均一解の任意に小さな近傍において、内部が空でない解では、ホライズン点およびグローバルホライズンが両方発生する。これは、境界成分が一般に存在することを示唆する。
• $\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^2$ のトポロジーにおける $\mathbb{S}^1$ 要素の有限性は、$\mathbb{R}\times\mathbb{S}^2$ で用いられる摂動技法を制限するが、初期長が十分に大きい場合には類似した挙動が維持される。