[論文レビュー] Strong cosmic censorship in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat initial data I. The interior of the black hole region

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、二端付き漸近平坦な初期データを備えた球対称なアインシュタイン＝マクスウェル＝（実）スカラー場系において、強宇宙 censorship 予想の $C^2$-形式を証明する。$L^2$-平均化された多項式的下界が事象のホライズンに沿ってスカラー場に課された条件下で、時空の $C^2$-将来非延長可能性を確立する。安定性と不安定性の推移を用いて、従来の点での下界よりも弱い条件で、ブラックホール内部の不安定性を拡張する。

ABSTRACT

This is the first and main paper of a two-part series, in which we prove the $C^{2}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture for the Einstein-Maxwell-(real)-scalar-field system in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat data. For this model, it is known through the works of Dafermos and Dafermos-Rodnianski that the maximal globally hyperbolic future development of any admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data set possesses a non-empty Cauchy horizon, across which the spacetime is $C^{0}$-future-extendible (in particular, the $C^{0}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture is false). Nevertheless, the main conclusion of the present series of papers is that for a generic (in the sense of being open and dense relative to appropriate topologies) class of such data, the spacetime is future-inextendible with a Lorentzian metric of higher regularity (specifically, $C^{2}$). In this paper, we prove that the solution is $C^{2}$-future-inextendible under the condition that the scalar field obeys an $L^{2}$-averaged polynomial lower bound along each of the event horizons. This, in particular, improves upon a previous result of Dafermos, which required instead a pointwise lower bound. Key to the proof are appropriate stability and instability results in the interior of the black hole region, whose proofs are in turn based on ideas from the work of Dafermos-Luk on the stability of the Kerr Cauchy horizon (without symmetry) and from our previous paper on linear instability of Reissner-Nordstr\\"om Cauchy horizon. In the second paper of the series (arXiv:1702.05716), which concerns analysis in the exterior of the black hole region, we show that the $L^2$-averaged polynomial lower bound needed for the instability result indeed holds for a generic class of admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data.

研究の動機と目的

• 球対称なアインシュタイン＝マクスウェル＝（実）スカラー場系における $C^2$-強宇宙 censorship 予想の形式を確立すること。
• 一般の二端付き漸近平坦な初期データが、$C^2$-将来非延長可能な時空を導くことを証明すること。
• スカラー場の事象ホライズンに沿った従来の点での下界条件を、弱い $L^2$-平均化多項式的下界に置き換えることにより、コーシー・ホライズンの不安定性を示すこと。
• この $L^2$-平均化条件下でコーシー・ホライズンが不安定であることを示し、Christoffel 記号が $p>1$ の $L^p$ で発散することを示すこと。

提案手法

• ブラックホール内部における $(u,v)$ 座標系を用いて、コーシー・ホライズンの幾何学的・力学的性質を分析する。
• 赤方偏移領域および青方偏移領域における安定性推移を適用し、スカラー場および計量成分の振る舞いを制御する。
• 統合局所エネルギー減衰推移と赤方偏移推移を用いて、スカラー場の微分の境界を導出する。
• レイチャウドフリ方程式を用いて、$-\frac{\rho}{\rho^2}$ の増大をスカラー場のエネルギー密度に関連付ける。
• $L^2$-平均化された下界の下で、$\frac{\lambda}{\Omega^2}$ および Christoffel 記号の発散を背理法により示す。
• ダーフェルモス＝ルクの Kerr コーシー・ホライズン安定性に関する結果およびリースナー＝ノールストローム不安定性に関する先行研究を基に、不安定性フレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二端付き漸近平坦なデータを備えた球対称なアインシュタイン＝マクスウェル＝（実）スカラー場系において、$C^2$-強宇宙 censorship 予想は成立するか？
• RQ2 $L^2$-平均化された多項式的下界が、事象ホライズンに沿ったスカラー場に課された場合、コーシー・ホライズンの不安定性を引き起こすのに十分か？
• RQ3 この $L^2$-平均化条件下でも、時空は $C^2$-将来非延長可能か、それにもかかわらず $C^0$-延長可能であるか？
• RQ4 $L^2$-平均化下界の下で、コーシー・ホライズン付近における Christoffel 記号の振る舞いはどのように変化するか？ これは正則性の喪失を意味するか？
• RQ5 この不安定性メカニズムは、許容可能な初期データ空間におけるこのようなデータの一般性と厳密に結びつけることができるか？

主な発見

• スカラー場の事象ホライズンに沿った $L^2$-平均化多項式的下界条件の下で、時空は $C^2$-将来非延長可能である。
• $L^2$-平均化下界の下で、統合エネルギー減衰推移と赤方偏移推移を用いた背理法により、$\frac{\lambda}{\Omega^2}$ の発散が確立される。
• $(\sigma_{\mathbb{S}^2}^{-1})^{AB}\Gamma^u_{AB}$ 形式の Christoffel 記号は、$L^2$-平均化下界の下で、コーシー・ホライズン付近ですべての $p>1$ に対して $L^p_{\text{loc}}$ で発散する。
• $L^2$-平均化下界は、任意の $C^0$-延長において、スカラー場が $W^{1,2}_{\text{loc}}$ に属さないことを示唆する。
• この $L^2$-平均化下界の下で、コーシー・ホライズンが不安定であることが証明され、$C^2$-強宇宙 censorship の形式が確認される。
• 不安定性メカニズムは強固であり、全コーシー・ホライズンにわたって拡張可能であり、$(u,v)$ および $(u,V)$ 座標系の両方で発散が確認される。