[論文レビュー] Strong cosmic censorship in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat initial data II. The exterior of the black hole region

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、球対称な場合におけるアインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー場系の強宇宙 censorship予想の $C^2$-形式について、二段階の証明を完了する。一般の二端付き漸近平坦初期データに対して、ブラックホール領域のカウチホライズンが $C^2$-未来に延長不能であることを確立し、特異点が延長不能であり、したがってcensorshipが一般に成立することを確認する。

ABSTRACT

This is the second and last paper of a two-part series in which we prove the $C^2$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture for the Einstein-Maxwell-(real)-scalar-field system in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat data. In the first paper (arXiv:1702.05715), we showed that the maximal globally hyperbolic future development of an admissible asymptotically flat Cauchy initial data set is $C^2$-future-inextendible provided that an $L^2$-averaged (inverse) polynomial lower bound for the derivative of the scalar field holds along each horizon. In this paper, we show that this lower bound is indeed satisfied for solutions arising from a generic set of Cauchy initial data. Roughly speaking, the generic set is open with respect to a (weighted) $C^1$ topology and is dense with respect to a (weighted) $C^\infty$ topology. The proof of the theorem is based on extensions of the ideas in our previous work on the linear instability of Reissner-Nordström Cauchy horizon, as well as a new large data asymptotic stability result which gives good decay estimates for the difference of the radiation fields for small perturbations of an arbitrary solution.

研究の動機と目的

• 球対称な場合におけるアインシュタイン＝マクスウェル-(実)-スカラー場系の $C^2$-形式の強宇宙 censorship 予想の証明を完了すること。
• 初期データに対して、カウチホライズンに沿ったスカラー場の勾配の $L^2$-平均（逆）多項式下界が一般に成り立つことを確立すること。
• この一般条件の下で、最大の全域的因果的未来発展が $C^2$-未来に延長不能であることを示すこと。
• リッサー＝ノールストローム時空における線形不安定性結果を、広範な非線形解のクラスにまで拡張すること。
• 任意の解の小さな摂動の下で、放射場の新しい大データ漸近安定性結果を証明すること。

提案手法

• 同伴論文（arXiv:1702.05715）で確立された枠組みを用い、$C^2$-延長不能性がカウチホライズンに沿ったスカラー場の勾配の $L^2$-平均の下界と関連することを示す。
• 任意の解の小さな摂動の下で、スカラー場の放射場の新しい大データ漸近安定性定理を用いる。
• リッサー＝ノールストロームのカウチホライズンの線形不安定性解析の技術を非線形設定に応用し、一般の初期データにまで拡張する。
• 重み付き $C^1$ および $C^\tau$ 位相を用いて一般の初期データの集合を定義し、$C^1$ で開かつ $\tau > 1$ の $C^\tau$ で稠密であることを証明する。
• エネルギー推定と放射場の減衰性質を用いて、カウチホライズン付近におけるスカラー場およびその微分の振る舞いを分析する。
• 漸近安定性結果と一般性の議論を組み合わせることで、スカラー場の勾配に必要な下界が一般の初期データの集合で満たされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二端付き漸近平坦初期データの一般集合に対して、カウチホライズンに沿ったスカラー場の微分の $L^2$-平均（逆）多項式下界は成立するか？
• RQ2 この下界の下で、そのようなデータの最大の全域的因果的未来発展は $C^2$-未来に延長不能か？
• RQ3 リッサー＝ノールストロームのカウチホライズンの線形不安定性メカニズムは、球対称性下の非線形・大データ解にまで拡張可能か？
• RQ4 アインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー系における任意の解の小さな摂動の下で、放射場の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 $C^2$-意味での強宇宙 censorship が成立する初期データの集合はどれほど大きく、その一般性はどのような位相で特徴づけられるか？

主な発見

• カウチホライズンに沿ったスカラー場の微分の $L^2$-平均（逆）多項式下界は、重み付き $C^1$ 位相で開である初期データの集合で満たされる。
• この一般集合は、任意の $\tau > 1$ に対して重み付き $C^\tau$ 位相で稠密であり、広範な適用可能性を示している。
• そのようなデータの最大の全域的因果的未来発展は $C^2$-未来に延長不能であり、$C^2$-形式の強宇宙 censorship が確認された。
• 小さな摂動の下で、任意の解の放射場が一様推定で減衰するという、新しい大データ漸近安定性結果が確立された。
• リッサー＝ノールストロームのカウチホライズンの線形不安定性を非線形領域にまで拡張し、延長不能性を示す強固なメカニズムが得られた。
• 結果は、二端付き漸近平坦初期データを伴う球対称なアインシュタイン＝マクスウェル-(実)-スカラー場系に対して成立する。