[論文レビュー] Strong disorder implies strong localization for directed polymers in a random environment

Philippe Carmona, Yueyun Hu|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、任意の次元 $d$ において、確率的環境内の指向的高分子モデルにおける強い不規則性（strong disorder）が、高分子測度が漸近的に少数のサイトに集中することを意味する強い局在性（strong localization）を示す。この証明は、重ね合わせ過程 $I_t = \mu_t^{\otimes 2}(\omega_1(t) = \omega_2(t))$ の分析に依拠し、マルティンゲールおよびセミマルティンゲールの技法を用いて、強い不規則性下での発散が局在性を示すことを示している。

ABSTRACT

In this note we show that in any dimension $d$, the strong disorder property implies the strong localization property. This is established for a continuous time model of directed polymers in a random environment : the parabolic Anderson Model.

研究の動機と目的

• 連続時間の単純な無向ランダムウォークを用いた指向的高分子モデルにおいて、強い不規則性から強い局在性が導かれるという関係を確立すること。
• 強い不規則性がすべての次元 $d$ において強い局在性をもたらすかどうかという未解決の問題を解き、これまでの結果が $d=1,2$ に限られていたのを拡張すること。
• 高分子の重ね合わせの漸近的挙動と自由エネルギー、マルティンゲール収束を結びつけることで、不規則性と局在性の概念を統一すること。
• 確率的解析およびセミマルティンゲール分解を用いて、強い不規則性と強い局在性の同値性を厳密に証明すること。
• 非常に強い不規則性、強い不規則性、強い局在性がこのモデルにおいて同値であるという予想を裏付けること。

提案手法

• 正のマルティンゲールとしての分配関数 $Z_t$ を分析し、ほとんど確実に $Z_\infty$ に収束する。$Z_\infty = 0$ が強い不規則性を定義する。
• 二つの独立な高分子が時刻 $t$ に一致する確率を測る重ね合わせ過程 $I_t = \mu_t^{\otimes 2}(\omega_1(t) = \omega_2(t))$ を導入する。
• 単純な無向ランダムウォークの帰還確率の挙動を組み込んだ、再生方程式に類似したセミマルティンゲール分解を $I_t$ に適用する。
• フビニの定理および確率的解析を用いて、重ね合わせを二次変動が制御可能な連続マルティンゲール $X_t$ の形で表現する。
• ノヴィコフの基準および指数マルティンゲールの推定を用いて、重ね合わせの尾部挙動を制御し、漸近的評価を導出する。
• 自由エネルギーと重ね合わせを結ぶ恒等式 $p(\beta) = -\frac{\beta^2}{2} \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t I_s \, ds$ を適用し、熱力学的極限と重ね合わせを結びつけることで、局在性の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての次元 $d$ において、指向的高分子モデルにおける強い不規則性が強い局在性をもたらすか？
• RQ2 積分 $\int_0^\infty \mu_t^{\otimes 2}(\omega_1(t) = \omega_2(t)) \, dt$ の発散と局在的サイトの存在との間の正確な関係は何か？
• RQ3 確率的解析を用いて、重ね合わせ過程 $I_t$ を用いて高分子測度の漸近的挙動を特徴づけることは可能か？
• RQ4 強い不規則性と強い局在性の同値性は、$d=1,2$ を超えて成り立つか？
• RQ5 重ね合わせ積分の発散は、$\sup_x \mu_t(\omega(t) = x)$ に正の下界をもたらすか、すなわち局在性を示唆するか？

主な発見

• 強い不規則性（$Z_\infty = 0$ ほとんど確実に）は、強い局在性を意味する：ある定数 $c > 0$ に対して、ほとんど確実に $\limsup_{t\to\infty} \sup_x \mu_t(\omega(t) = x) \geq c$ が成り立つ。
• 強い不規則性下では、重ね合わせ過程 $I_t = \mu_t^{\otimes 2}(\omega_1(t) = \omega_2(t))$ に対して、ほとんど確実に $\int_0^\infty I_s \, ds = \infty$ が成り立つ。
• 自由エネルギーは $p(\beta) = -\frac{\beta^2}{2} \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t I_s \, ds$ ほぼ確実に与えられ、熱力学的極限と重ね合わせを結びつける。
• $\int_0^\infty I_s \, ds$ の発散は、正規化された重ね合わせ $\frac{1}{t} \int_0^t I_s \, ds$ がほとんど確実に正の定数に収束することを示し、これは非常に強い不規則性を特徴づける。
• 証明により、$\limsup_{T\to\infty} \frac{\int_0^T J_s \, ds}{\int_0^T I_s \, ds} \geq c_1 > 0$ ほぼ確実に成り立つことが示され、$J_s$ が関連する過程であることを確認し、重ね合わせのダイナミクスにおける支配的役割を裏付ける。
• この結果により、強い不規則性がすべての次元 $d$ において強い局在性をもたらすことが確認され、これまでの $d=1,2$ に限られた結果を拡張した。