[論文レビュー] Strong Error Estimates for a Space-Time Discretization of the Linear-Quadratic Control Problem with the Stochastic Heat Equation with Linear Noise

Andreas Prohl, Yanqing Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形乗法的ノイズを伴う確率的熱方程式に従う線形-二次の最適制御問題に対する空間時間有限要素離散化を提案する。確率的リッカチ方程式を用いてhに依存しない安定性を確立することで、空間および時間の両方で最適収束速度を証明し、線形ノイズ設定において初めて強い誤差推定を達成した。これは、従来の加法的ノイズに限定された先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We propose a time-implicit, finite-element based space-time discretization of the necessary and sufficient optimality conditions for the stochastic linear-quadratic optimal control problem with the stochastic heat equation driven by linear noise of type $[X(t)+σ(t)]dW(t)$, and prove optimal convergence w.r.t. both, space and time discretization parameters. In particular, we employ the stochastic Riccati equation as a proper analytical tool to handle the linear noise, and thus extend the applicability of the earlier work [16], where the error analysis was restricted to additive noise.

研究の動機と目的

• 確率的熱方程式に従う線形乗法的ノイズを伴う線形-二次最適制御問題を解くための数値法の開発。
• 従来、加法的ノイズに限定されていた強い誤差推定を、より複雑な線形ノイズの状況に拡張すること。
• 確率的リッカチ方程式を主要な解析的道具として用い、離散最適性系に対するhに依存しない安定性を確立すること。
• 完全離散スキームにおける空間および時間離散化パラメータの両方で最適収束速度を証明すること。
• 計算コストを低減するために、完全離散問題を効率的に解くための分離型勾配降下法の設計と分析。

提案手法

• 必要十分最適性条件に対する時間陰性で、有限要素に基づく空間時間離散化を提案する。
• 確率的リッカチ方程式を用いて、半離散最適性系の解四重組 (X_h^*, Y_h, Z_h, U_h^*) のhに依存しない安定性推定を導出する。
• 時間離散化に修正された陰的エイラー法を用い、後向き確率的PDEにおけるZ_hのドリフト依存性を考慮する。
• 完全離散問題を最小化問題に再定式化することで、効率的な計算を可能にする分離型勾配降下法の適用を可能にする。
• 離散グロンウォールの不等式と (1 - τΔ_h) の逆演算子に関するバインドを用いて、リップシッツ連続性および強い誤差推定を導出する。
• 収束解析は、Z_hの時間的変動バインドを確認することに依存しており、たとえば 𝔼[‖Z_h(t) - Z_h(s)‖²] ≤ C|t - s| がhに関して一様に成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形乗法的ノイズを伴う確率的線形-二次制御問題の空間時間離散化に対して、最適な強い誤差推定を確立できるか？
• RQ2 Z_h が後向きSDEのドリフトに現れる場合、離散最適性系に対してhに依存しない安定性をどのように達成できるか？
• RQ3 確率的リッカチ方程式は、線形ノイズケースにおける誤差解析を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 完全離散問題に対して分離型勾配降下法を効果的に適用できるか？
• RQ5 線形ノイズの存在下で、状態変数、随伴変数、制御変数の収束速度はどの程度達成可能か？

主な発見

• 本稿では、線形ノイズを伴う確率的線形-二次制御問題の空間時間離散化に対して最適収束速度を確立し、空間および時間の両方で強い誤差推定を証明した。
• 確率的リッカチ方程式により、解四重組 (X_h^*, Y_h, Z_h, U_h^*) のhに依存しない安定性推定が可能となり、これは従来の加法的ノイズに限定された手法では達成できなかった。
• 重要なバインドとして、すべての t, s ∈ [0, T] に対して 𝔼[‖Z_h(t) - Z_h(s)‖²] ≤ C|t - s| が得られ、Cはhに依存しない。これはZ_hの時間的正則性を保証する。
• 完全離散問題に対する勾配降下法は線形収束を示し、ℓ反復後には誤差が (1 - 1/κ)^ℓ のように減少する。
• 状態誤差および勾配誤差は、C(1 - 1/κ)^ℓ‖U_h^τ(0) - U^*_hτ‖² で有界であり、反復回数に関して指数的収束を示す。
• 収束速度は空間および時間離散化パラメータに関して最適であり、従来の加法的ノイズから線形乗法的ノイズへの拡張を実現した。