[論文レビュー] Strong-field gravitational lensing by black holes

Jake O. Shipley|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 292被引用数 7

ひとこと要約

本学位論文は、一般相対性理論および非線形力学の道具を用いて、ブラックホールによる強力場重力レンズ効果を調査し、二重ブラックホール系におけるカオス的光線軌道に焦点を当てる。二重ブラックホールの影が、カントールに類似したフラクタル構造とWada性質を示すことを示し、Kerr時空における高次幾何光学形式を構築することで、電磁的ストレステンソルの補助的補正を計算する。

ABSTRACT

In this thesis we study aspects of strong-field gravitational lensing by black holes in general relativity, with a particular focus on the role of integrability and chaos in geodesic motion. We first investigate binary black hole shadows using the Majumdar-Papapetrou static binary black hole (or di-hole) solution. It is shown that the propagation of null geodesics on this spacetime background is a natural example of chaotic scattering. We demonstrate that the binary black hole shadows exhibit a self-similar fractal structure akin to the Cantor set. Next, we use techniques from the field of non-linear dynamics to quantify these fractal structures in binary black hole shadows. Using a recently developed numerical algorithm, called the merging method, we demonstrate that parts of the Majumdar-Papapetrou di-hole shadow may possess the Wada property. We then study the existence, stability and phenomenology of circular photon orbits in stationary axisymmetric four-dimensional spacetimes. We employ a Hamiltonian formalism to describe the null geodesics of the Weyl-Lewis-Papapetrou geometry. Using the Einstein-Maxwell equations, we demonstrate that generic stable photon orbits are forbidden in pure vacuum, but may arise in electrovacuum. Finally, we apply a higher-order geometric optics formalism to describe the propagation of electromagnetic waves on Kerr spacetime. Using the symmetries of Kerr spacetime, we construct a complex null tetrad which is parallel-propagated along null geodesics; we introduce a system of transport equations to calculate certain Newman-Penrose quantities along rays; we derive generalised power series solutions to these transport equations through sub-leading order in the neighbourhood of caustic points; and we introduce a practical method to evolve the transport equations beyond caustic points.

研究の動機と目的

• 強力場重力レンズ効果を用いて、ブラックホール周辺の測地線運動における可積分性とカオスの役割を理解すること。
• カオス的散乱のモデルとしてのMajumdar–Papapetrou二重時空における二重ブラックホール影の構造を分析すること。
• 不確実性指数を用いて影のフラクタル的性質を定量化し、出口領域の境界にWada性質が存在するかを検証すること。
• 特に電磁真空解において、静止軸対称時空における円形光子軌道の存在と安定性を調査すること。
• Kerr時空における高次幾何光学形式を構築し、電磁的ストレステンソルの補助的補正を体系的に計算すること。

提案手法

• 二重ブラックホール系の模型として、Majumdar–Papapetrou静的二重時空解を用い、光線軌道のダイナミクスを研究する。
• 記号的ダイナミクスを適用して光線軌道を分類し、1次元的影の位相的構造を記述する。
• マージング法と数値アルゴリズムを用いて、不確実性指数を計算し、影領域におけるフラクタル次元を評価する。
• 境界点が3つ以上の領域に属するかを検証する数値アルゴリズムを用いて、出口領域におけるWada性質をテストする。
• 静止軸対称時空における光線軌道と光子軌道を解析するため、Weyl–Lewis–Papapetrou幾何におけるハミルトニアン形式を用いる。
• 閉じたコンformal Killing–Yanoテンソルを用いた平行移動により複素光線テンソルを構築し、曲率点付近におけるニューマン＝ペンローズ量の輸送方程式を、補助的項まで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不安定な光子軌道とカオス的散乱は、Majumdar–Papapetrou二重時空における二重ブラックホール影の構造にどのように寄与するか？
• RQ2 二重ブラックホールの影はどの程度フラクタル幾何を示し、Wada性質を有する可能性があるか？
• RQ3 静止軸対称時空、特に電磁真空において、安定な円形光子軌道が存在する条件は何か？
• RQ4 Kerr時空において、高次幾何光学補正を体系的に計算する方法は何か、特に曲率点付近でどうなるか？
• RQ5 ポアンカレ断面を通じて、束縛された光線軌道運動におけるカオスの現象論はどのようなものか？

主な発見

• Majumdar–Papapetrou二重時空における二重ブラックホールの影は、光線軌道のカオス的散乱により自己相似的かつカントールに類似したフラクタル構造を示す。
• 1次元的影における不確実性指数は、カントール集合と整合するフラクタル次元を示し、複雑な領域境界を確認する。
• 数値的テストにより、影の一部がWada性質を有することが確認され、境界上のすべての点が3つ以上の異なる出口領域に属することが示された。
• 真空中では安定な円形光子軌道は禁止されるが、電磁真空時空では存在しうることを、Reissner–Nordström二重時空族の例で示した。
• ポアンカレ断面を用いた確認により、束縛された光線軌道運動におけるカオスの発生が裏付けられ、初期条件に対する敏感な依存性が確認された。
• 補助的項までを含めた一般化された級数解を用いた実用的手法が開発され、発散する輸送方程式を曲率点を越えて進化可能となった。