[論文レビュー] Strong General Position

Micha A. Perles, Moriah Sigron|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈ 内の有限点集合が強い一般位置（SGP）にあるかどうかを判定するための簡略化された基準を導入し、SGP を確認するのに必要な条件の数を指数的多数から最小で、ほぼ最適な集合に削減する。主な結果は、任意の互いに素な部分集合の集合について、その総サイズ m が m = T(d,r) = (d+1)(r−1)+1 のとき、それらのアフィン包の交わりが一点に一致するか、m < T(d,r) のときは空集合である場合に限り、SGP が成立することである。この特徴付けにより、検証が効率的に行え、SGP が一般性を持つことが証明される——モーメント曲線上の点はほとんど確実に SGP に属する。

ABSTRACT

We say that a finite set S of points in R^d is in "strong general position" if for any collection {F_1,..., F_r} of r pairwise disjoint subsets of S (1 &lt;= r &lt;= |S|) we have: d-dim (the intersection of aff F_1,aff F_2,...,aff F_r) = min{d+1, (d-dim aff F_1)+(d-dim aff F_2)+...+(d-dim aff F_r)}. In this paper we reduce the set of conditions that one has to check in order to determine if S is in "strong general position".

研究の動機と目的

• 有限点集合が ℝᵈ で強い一般位置（SGP）にあることを確認するために必要な条件の数を削減すること。そうでなければ、指数的多数の交わり条件をチェックする必要がある。
• SGP を保証する最小で、ほぼ最適な条件の集合を確立し、大規模な点集合に対しても検証が可能になるようにすること。
• SGP が一般性を持つ性質であることを示すこと：任意の n と d に対して、ℝᵈ 内の n 個の点の一般な n-重組は SGP に属する。これは座標に関する非消滅多項式条件によって定義される。
• Tverberg 型定理における SGP の利用の理論的基盤を提供すること。SGP により、点の数が Tverberg の閾値に達しない限り、Tverberg 分割が不可能であることが保証される。

提案手法

• 本稿では、SGP の検証を、2 ≤ r ≤ d+1 かつ各部分集合 Fi のサイズが d 以下であるような、互いに素な部分集合の集合に限定して行う。
• Tverberg 数 T(d,r) = (d+1)(r−1)+1 を閾値として用いる：総サイズ m = T(d,r) のとき、アフィン包の交わりは一点でなければならない。m < T(d,r) のときは空集合でなければならない。
• 方法としては、互いに素な部分集合のアフィン包からなる線形方程式系 A·Λ = (1,0,…,0)ᵗ を構成し、非空交わりが存在する場合、その行列式が消える条件を示す。
• q×q の小行列式の二乗の和として定義される多項式 P を導入し、P = 0 であることはアフィン包の非自明な交わりが存在することと同値である。
• 特定の点配置（1つの線形依存関係を持つベクトルを用いて構成）を構築することで、P が恒等的にゼロでないことを証明する。このとき、同次系の唯一の解は自明であり、rank(A⁻) = q であることが示される。
• この構成により、非-SGP 状態の集合が真の代数的部分多様体として定義されることを示し、SGP が一般に成立することが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈ 内の有限点集合が強い一般位置（SGP）にあることを保証する最小の条件の集合は何か？
• RQ2 すべての互いに素な部分集合の組み合わせをチェックするのではなく、大規模な点集合に対して SGP を効率的に検証する方法は何か？
• RQ3 強い一般位置は一般性を持つ性質か？すなわち、ℝᵈ 内の n 個の点のほとんどすべての配置で SGP が成立するか？
• RQ4 SGP と Tverberg の定理との正確な関係は何か？特にアフィン包の交わりの観点から。
• RQ5 SGP の条件を、r ≤ d+1 かつ |Fi| ≤ d であるような構成にまで削減できるか？

主な発見

• 有限点集合 S ⊂ ℝᵈ が SGP に属するための必要十分条件は、任意の r 個の互いに素な部分集合 F₁,…,Fᵣ（2 ≤ r ≤ d+1 かつ |Fᵢ| ≤ d）に対して、∑|Fᵢ| = T(d,r) のときアフィン包の交わりが一点に一致し、∑|Fᵢ| < T(d,r) のときは空集合であることである。
• SGP を確認するために必要な条件の数は著しく削減される：r ≤ d+1 かつ部分集合サイズが有界であるようなものだけをチェックすれば十分である。
• SGP は一般性を持つ性質である：nd 個の変数における非ゼロ多項式 P が存在し、任意の n 個の点が SGP に属するための必要十分条件は P(𝐱₁,…,𝐱ₙ) ≠ 0 であることである。
• ℝᵈ 内の n 個の点の組で SGP に属さないものの集合は真の代数的部分多様体をなすため、SGP はほとんどすべての配置で成立する。
• 本稿では、モーメント曲線 Mᵈ = {(t,t²,…,tᵈ) : t ∈ ℝ} 上の点が、一般性を持つ多項式条件を満たすため、ほとんど確実に SGP に属することを証明している。