[論文レビュー] Strong instability of standing waves with negative energy for double power nonlinear Schrödinger equations

Noriyoshi Fukaya, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$L^2$-臨界でなく$L^2$-超臨界な非線形項を有する二重非線形項付き非線形シュレーディンガー方程式における基底状態の定常波の強い不安定性の十分条件を確立する。$L^2$-不変スケーリングの下での作用関数の2次変動を分析することにより、著者らは、$ partial_ lambda^2 S_ omega( phi_ omega^ lambda)|_{ lambda=1} \leq 0$ ならば、定常波 $e^{i\omega t}\phi_\omega$ は強い不安定性を示すことを証明した。これは、$H^1$ノルムにおける任意に小さな摂動が有限時間 blowup を引き起こすことを意味する。

ABSTRACT

We study the strong instability of ground-state standing waves $e^{iωt}ϕ_ω(x)$ for $N$-dimensional nonlinear Schrödinger equations with double power nonlinearity. One is $L^2$-subcritical, and the other is $L^2$-supercritical. The strong instability of standing waves with positive energy was proven by Ohta and Yamaguchi (2015). In this paper, we improve the previous result, that is, we prove that if $\partial_λ^2S_ω(ϕ_ω^λ)|_{λ=1}\le0$, the standing wave is strongly unstable, where $S_ω$ is the action, and $ϕ_ω^λ(x)\mathrel{\mathop:}=λ^{N/2}ϕ_ω(λx)$ is the $L^2$-invariant scaling.

研究の動機と目的

• 二重非線形項付き非線形シュレーディンガー方程式における基底状態の定常波の強い不安定性の十分条件を確立すること。
• 従来の強い不安定性の結果は正エネルギー解に限られていたが、負エネルギーの定常波にその結果を拡張すること。
• 作用関数 $S_\nomega$ の $L^2$-不変スケーリング $\phi_\nomega^\nlambda(x) = \nlambda^{N/2}\phi_\nomega(\nlambda x)$ における振る舞いを分析すること。
• 作用関数の2次微分 $\partial_\nlambda^2 S_\nomega(\phi_\nomega^\nlambda)|_{\nlambda=1}$ を用いて強い不安定性の条件を特徴づけること。
• 作用関数の2次微分が $\partial_\nlambda^2 S_\nomega(\phi_\nomega^\nlambda)|_{\nlambda=1} \leq 0$ を満たすとき、基底状態 $\phi_\nomega$ が強い不安定性を示すことを証明すること。

提案手法

• 作用関数 $S_\nomega(v) = E(v) + \frac{\nomega}{2}\|v\|_{L^2}^2$ を定義する。ここで $E(v)$ はエネルギー、$\nomega > 0$ は周波数である。
• $L^2$-不変スケーリング $\phi_\nomega^\nlambda(x) = \nlambda^{N/2}\phi_\nomega(\nlambda x)$ を導入する。これは $L^2$-ノルムを保存する。
• 不安定性の主要基準として、2次微分 $\partial_\nlambda^2 S_\nomega(\phi_\nomega^\nlambda)|_{\nlambda=1}$ を分析する。
• $S_\nomega(v) < S_\nomega(\nphi_\nomega)$、$\|v\|_{L^2} \leq \|\nphi_\nomega\|_{L^2}$、$K_\nomega(v) < 0$、および $Q(v) < 0$ を満たす初期データの集合 $\mathcal{B}_\nomega$ を定義する。ここで $Q(v) = \partial_\nlambda S_\nomega(v^\nlambda)|_{\nlambda=1}$ である。
• 保存則と連続性の議論を用いて、$\mathcal{B}_\nomega$ がNLS方程式の解の流れに対して不変であることを証明する。
• バーリアル恒等式 $\frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 = 8Q(u(t))$ と $Q(u(t))$ の負の性質を用いて、与えられた条件下で有限時間 blowup を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング下での作用関数の2次微分がどのような条件下で基底状態の定常波の強い不安定性を示すか。
• RQ2 強い不安定性基準を、$E(\phi_\nomega) < 0$ である負エネルギーの定常波に拡張できるか。
• RQ3 $\partial_\nlambda^2 S_\nomega(\phi_\nomega^\nlambda)|_{\nlambda=1} \leq 0$ である条件が、基底状態に近い初期データに対して有限時間 blowup を引き起こすか。
• RQ4 $\mathcal{B}_\nomega$ はNLSの流れに対して不変か。また、その集合は blowup を引き起こす基底状態の摂動を含むか。
• RQ5 作用関数のスケーリング挙動は、二重非線形NLSにおける定常波の安定性特性とどのように関係するか。

主な発見

• 作用関数の2次微分が $\partial_\nlambda^2 S_\nomega(\phi_\nomega^\nlambda)|_{\nlambda=1} \leq 0$ を満たすならば、定常波 $e^{i\omega t}\phi_\nomega$ は強い不安定性を示す。
• $\lambda > 1$ のすべての $\lambda$ に対して、スケーリングされた関数 $\phi_\nomega^\nlambda$ は集合 $\mathcal{B}_\nomega$ に属する。この集合はNLSの流れに対して不変である。
• 初期データ $u(0) = \phi_\nomega^\nlambda$ を持つ解は、すべての $\lambda > 1$ に対して有限時間 blowup を起こす。これは $Q(u(t))$ の負の性質とバーリアル恒等式による。
• $\lambda \searrow 1$ のとき、スケーリングされた初期データ $\phi_\nomega^\nlambda$ は $H^1(\mathbb{R}^N)$ 内で $\phi_\nomega$ に収束する。これは強い不安定性を確認する。
• 基底状態 $\phi_\nomega$ は指数的に減衰するため、$\phi_\nomega \in \Sigma$ であり、バーリアル恒等式と blowup 分析の有効性が保証される。
• 本結果は、従来の正エネルギーの強い不安定性の結果を、二重非線形NLS枠組みにおける負エネルギーの定常波に一般化する。