[論文レビュー] Strong invariance principles with rate for "reverse" martingales and applications

Christophe Cuny, Florence Merlevède|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、非可逆な力学系、特に[0,1] 上の均等に拡張する写像における逆マルティングル・差分の和について、明示的な誤差率を伴うほとんど確実な不変性原理を確立する。マルティングル近似と、条件付き分位数変換およびストラッセングの埋め込みを用いた新規なカップリング技法を活用することで、$ 2 < p \leq 4 $ の場合に最適な $ n^{1/p} \log^\beta n $ のレートを達成し、従来のマルティングル手法が失敗する非可逆な設定へと強力近似結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain almost sure invariance principles with rate of order $n^{1/p}\log^βn$, $2&lt; p\le 4$, for sums associated to a sequence of reverse martingale differences. Then, we apply those results to obtain similar conclusions in the context of some non-invertible dynamical systems. For instance we treat several classes of uniformly expanding maps of the interval (for possibly unbounded functions). A general result for $ϕ$-dependent sequences is obtained in the course.

研究の動機と目的

• 非可逆力学系における観測関数の部分和について、明示的な誤差率を伴うほとんど確実な不変性原理を確立すること。
• 標準的なマルティングル近似が非可逆系で限界に達するのを避けるために、逆マルティングル差分を用いること。
• 弱い可積分性条件の下で、有界でない観測関数を伴う均等に拡張する写像へと強力近似結果を拡張すること。
• $ \phi $-混合列および力学系へ一般化可能な枠組みを提供すること。
• 特に $ p \in (2,4] $ の場合に、ブロッキングやスペクトル理論に基づく既存手法と比較して改善されたレートを達成すること。

提案手法

• 著者らは、非可逆力学系 $ (T, \nu) $ に対して、部分和 $ S_n(f) = \sum_{i=0}^{n-1} (f \circ T^i - \nu(f)) $ の逆マルティングル近似を用いる。
• 非増大フィルトレーション $ (\mathcal{G}_k) $ に適応する逆マルティングル差分 $ (d_k^*) $ の列を構成し、$ \mathbb{E}[d_k^* \mid \mathcal{G}_{k+1}] = 0 $ 几乎確実に満たす。
• 条件付き分位数変換とカントロヴィチ＝ルビンシュテインの定理に基づくカップリング手法を用いて、和をブラウン運動と結びつける。
• 適切に構成された補助過程にスコロホド＝ストラッセング埋め込みを適用し、望ましいほとんど確実な近似を達成する。
• 主な技術的ステップは、誤差 $ o(n^{1/p} \sqrt{b(n) \log n}) $ を伴う逆マルティングル差分列の強近似を証明することであり、ここで $ b(n) $ はゆっくり変動する関数である。
• この構成は $ \phi $-混合列へと拡張され、区分的拡張写像へ適用され、独立同分布の場合と同等のレートが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆力学系、例えば均等に拡張する写像のような場合に、観測関数の部分和について、明示的なレートを伴う強力な不変性原理を確立できるか？
• RQ2 時間の向きの問題により従来のマルティングル手法が失敗する状況において、逆マルティングル近似を用いて、ほとんど確実な不変性原理における最適なレートを達成する方法は何か？
• RQ3 観測関数 $ f $ と写像 $ T $ にどのような条件を課すと、近似誤差が $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $（$ 2 < p \leq 4 $）となるか？
• RQ4 条件付き分位数変換とカントロヴィチ＝ルビンシュテインの定理に基づくカップリング手法を、逆マルティングル設定に適応し、強力近似を達成できるか？
• RQ5 不変測度 $ \nu $ を持つマルコフ連鎖に関する結果を、逆時系列の性質を介して元の力学系へどの程度まで転送できるか？

主な発見

• 区間[0,1] 上の均等に拡張する写像に対して、観測関数 $ f $ について弱い可積分性条件の下で、$ 2 < p \leq 4 $ の場合に誤差率 $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $ を伴うほとんど確実な不変性原理が確立される。
• レート $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $ は、逆マルティングル近似と新規なカップリング技法により達成され、以前の結果が $ O(n^{3/8 + \varepsilon}) $ に限られていたのを改善する。
• 特に $ p = 3 $ の場合、既存の文献で知られている最高の結果（例：$ n^{1/3} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{(1+\varepsilon)/3} $）と一致するが、より一般な方法により導出される。
• この手法は $ \phi $-混合列へ適用可能であり、$ r > 3 $ の $ \mathbb{L}^r(\nu) $ 内の非有界観測関数へも拡張可能で、従来の結果の適用範囲を広げる。
• 近似誤差が部分和とブラウン運動との間で $ o(n^{1/p} \sqrt{\log \log n}) $ となることが保証され、独立同分布列における最良のレートと一致する。
• 本稿は、逆時系列の性質と逆マルティングル構造を介して、マルコフ連鎖から非可逆力学系へ強力近似結果を転送可能な一般枠組みを提供する。