[論文レビュー] Strong limit theorems for extended independent and extended negatively dependent random variables under non-linear expectations

Zhang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Probability and Risk Models参考文献 27被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、部分線形期待値下での拡張独立および拡張負の従属性を示す確率変数列に対して、強い大数の法則および反復対数法則の強力な極限定理を確立する。Pengの元来の独立性よりも検証が容易な依存性の弱い形を導入し、新たなモーメント不等式および指数不等式を確立し、拡張独立性下での強い大数の法則に対して、Choquet積分条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ が必要かつ十分であることを証明する。

ABSTRACT

Limit theorems for non-additive probabilities or non-linear expectations are challenging issues which have raised progressive interest recently. The purpose of this paper is to study the strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm for a sequence of random variables in a sub-linear expectation space under a concept of extended independence which is much weaker and easier to verify than the independence proposed by Peng (2008b). We introduce a concept of extended negative dependence which is an extension of this kind of weak independence and the extended negative independence relative to classical probability appeared in recent literatures. Powerful tools as the moment inequality and Kolmogorov's exponential inequality are established for this kind of extended negatively independent random variables, which improve those of Chen, Chen and Ng(2010) a lot. And the strong law of large numbers and the law of iterated logarithm are obtained by applying these inequalities.

研究の動機と目的

• 部分線形期待値下での極限定理の枠組みを、古典的独立性を超えて拡張すること。
• Pengの定義よりも検証が容易な、より弱い確率的独立性の形式—拡張独立性—を導入し、その分析を行うこと。
• 拡張負の従属性を示す確率変数列に特化した新たなモーメント不等式および指数不等式を開発すること。
• この拡張従属構造下で、強い大数の法則および反復対数法則を確立すること。
• 拡張独立性下での強い大数の法則に対して、Choquet積分条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ が必要かつ十分であることを示すこと。

提案手法

• 非負の関数 $ \psi_i \in C_{l,Lip}(\mathbb{R}) $ に対して、$ \widehat{\mathbb{E}}[\prod_{i=1}^n \psi_i(X_i)] = \prod_{i=1}^n \widehat{\mathbb{E}}[\psi_i(X_i)] $ を満たす条件を用いて、拡張独立性を定義する。
• 部分線形期待値の文脈において、古典的負の従属性の一般化として、拡張負の従属性を定義する。
• 拡張負の従属性を示す確率変数列に対して、新たなモーメント不等式およびKolmogorov型指数不等式を確立する。
• 部分和の尾確率を制御するために、Borel-Cantelli補題および上側容量 $ \mathbb{V}^* $ の可算劣加法性を応用する。
• 大きな偏差を制御するために、$ Y_k = (-b_k) \vee (X_k \wedge b_k) $ とし、$ b_k = k^\beta $ と定義する打ち切り技術を用いる。
• 部分和の増分に対する指数的バウンドを用いて、ほとんど確実収束を示すために、部分列 $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $ を用いた部分列の議論を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形期待値下で、極限定理が成立するための確率的独立性の最も弱い形式は何か？
• RQ2 最小限のモーメント条件のもとで、拡張独立性下での強い大数の法則を確立できるか？
• RQ3 非線形期待値空間における拡張負の従属性を示す確率変数列に対して、モーメント不等式および指数不等式をどのように一般化できるか？
• RQ4 拡張独立性下での強い大数の法則に対して、条件 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ が必要かつ十分であるか？
• RQ5 部分線形期待値下で、拡張負の従属性を示す列に対して、反復対数法則を証明できるか？

主な発見

• 強い大数の法則は、拡張独立性のもとで $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ である場合にかつその場合に限り成立し、Zhang (2016) の結果をより弱い従属構造へ拡張する。
• 拡張負の従属性を示す確率変数列に対して、新たなモーメント不等式およびKolmogorov型指数不等式が確立され、Chen, Chen, and Ng (2010) の結果を改善する。
• 部分線形期待値下で、拡張負の従属性を示す列に対して、反復対数法則が証明され、正規化として $ a_n = \sqrt{2n \log \log n} $ が用いられる。
• 強い大数の法則の必要条件の証明は、部分和の尾容量の精密な分析および部分列 $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $ の使用に依存する。
• 指数的バウンドおよびBorel-Cantelliの議論を用いて、$ \mathbb{V}^*\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n (Y_k - \widehat{\mathbb{E}}[Y_k])}{a_n} > (1+\epsilon)^2\right) = 0 $ の収束が確立される。
• 結果は、$ \widehat{\mathbb{E}}[X_1] = 0 $、$ \widehat{\mathbb{E}}[X_1^2] = 1 $、およびある $ \gamma > 0 $ に対して $ \mathbb{E}[|X_1|^{2+\gamma}] < \infty $ という仮定のもとで成り立つ。