[論文レビュー] Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables in nonlinear probability

Yuting Lan, Ning Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Probability and Risk Models参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、独立性や同一分布の仮定を必要とせず、非線形確率空間における負に関連する確率変数の重み付き和について、強力な極限定理を確立する。上界・下界期待値の枠組みにおいて、Marcinkiewicz-Zygmund型およびコルモゴロフ型の強大数法則を導出し、それらを用いて負に関連するおよび垂直に独立な確率変数に対するストラッセング型不変性原理を証明する。

ABSTRACT

In this paper, based on the initiation of the notion of negatively associated random variables under nonlinear probability, a strong limit theorem for weighted sums of random variables within the same frame is achieved without assumptions of independence and identical distribution, from which the Marcinkiewich-Zygmund type and Kolmogorov type strong laws of large numbers are derived. In addition, as applications of our results, Stranssen type invariance principles of negatively associated random variables and vertically independent random variables are proposed respectively.

研究の動機と目的

• 加法性のない期待値が成り立つ非線形確率空間への古典的強大数法則（SLLN）の拡張。
• 非線形期待値下での負に関連する確率変数のSLLNにおいて、独立性および同一分布の仮定を排除すること。
• 上界・下界期待値の文脈において、Marcinkiewicz-Zygmund型およびコルモゴロフ型SLLNの導出。
• 新しいSLLN結果を用いて、負に関連するおよび垂直に独立な確率変数に対するストラッセング型不変性原理の確立。
• 非加法的測度下での負の関連性の概念とモーメント条件を用いて、既存の非線形確率におけるSLLNの一般化。

提案手法

• 確率測度族から導かれる上界・下界期待値を用いた非線形確率の枠組みを導入する。
• 古典的な従属概念を非加法的枠組みに拡張し、非線形確率設定における負に関連する確率変数を定義する。
• テール挙動を制御するためのモーメント条件を適用：$\sup_{i\geq 1}\mathbb{E}[|X_i|^{\alpha+1}] < \infty$（ある $\alpha > 0$ に対して）。
• 上界期待値 $\mathbb{E}[X] = \sup_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$ および下界期待値 $\mathcal{E}[X] = \inf_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$ の構造を用いて、パスごとのほとんど確実収束を導出する。
• 正規化 $A_n$ を用いた重み付き和 $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])$ および $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathcal{E}[X_i])$ に極限定理を適用する。
• 下界確率 $v$ の下で、正規化された重み付き和の関数の上極限および下極限の解析を通じて不変性原理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形確率空間において、独立性や同一分布の仮定を課さずに、負に関連する確率変数の重み付き和の強大数法則を確立できるか？
• RQ2 非線形確率における上界・下界期待値の枠組み下で、Marcinkiewicz-Zygmund型およびコルモゴロフ型SLLNはどのように拡張されるか？
• RQ3 モーメントおよび正規化列にどのような条件が課されれば、非線形枠組み下での重み付き和のほとんど確実収束が保証されるか？
• RQ4 新しいSLLN結果から、非線形確率における従属確率変数に対するストラッセング型不変性原理を導出できるか？
• RQ5 非線形期待値下で、垂直に独立な確率変数にこれらの結果はどのように適用されるか？

主な発見

• 本稿は、非線形確率下での負に関連する確率変数の重み付き和に対して、強大数法則を確立し、$\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n} > 0\right\}\right) = 0$ を示す。
• すべての $1 \leq p < 1 + \alpha$ に対して、Marcinkiewicz-Zygmund SLLNが成り立つ：$\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} > 0\right\}\right) = 0$。
• 下界確率は $v\left(\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} \geq 0\right) = 1$ および $v\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} \leq 0\right) = 1$ を満たす。
• ストラッセング型不変性原理が証明された：連続関数 $\varphi$ に対して、$v\left(\limsup_{n\to\infty}\varphi\left(\frac{\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{A_n}\right) \leq \sup_{x\leq 0}\varphi(x)\right) = 1$。
• 同じ不変性原理は、同じモーメントおよび正規化条件の下で、垂直に独立な確率変数に対しても成り立つ。
• 正規化の成長が十分であることを保証する条件 $\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n^{1/(\beta+1)}} = \infty$（$\beta \in (0, \min(1,\alpha))$）の下で、結果が得られる。