[論文レビュー] Strong mixing property for STIT tessellations

Raphaël Lachièze-Rey|ArXiv.org|May 8, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$×^d$ 内の STIT テッセレーションに対して強い混合性を確立し、コンpact集合 $A$ と $T_hB$ 間の距離 $ h ight floor$ が増加するにつれて、遠く離れた領域間の依存性が $1/\|h\|$ のオーダーで減少することを証明する。主な結果は、テッセレーションの細胞境界の当たる確率と当たらない確率の共分散の最適な減少率の特定である。

ABSTRACT

The so-called STIT tessellations form the class of homogeneous (spatially stationary) tessellations of $\mathbb{R}^d$ which are stable under the nesting/iteration operation. In this paper, we establish the strong mixing property for these tessellations and give the optimal form of the rate of decay for the quantity $|\mathbb{P}({A}\cap Y=\emptyset,T_h B \cap Y=\emptyset)-\mathbb{P}({A}\cap Y=\emptyset)\mathbb{P}({B}\cap Y=\emptyset)|$ when $A$ and $B$ are two compact sets, $h$ a vector of $\mathbb{R}^d$, $T_{h}$ the corresponding translation operator and $Y$ a STIT Tessellation.

研究の動機と目的

• STIT テッセレーションにおける強い混合性を確立することにより、エルゴドリシティおよび大規模距離での空間的非相関性を示すこと。
• テッセレーション内に離れたコンパクト集合の当たらない確率の共分散の最適な減少率を特定すること。
• 距離 $ h\to\infty$ のときの同時確率 $\mathbb{P}(Y\cap A=\emptyset, Y\cap T_hB=\emptyset)$ の漸近的挙動を分析すること。
• 幾何学的および確率的道具を用いて、テッセレーションの離れた領域間の独立性からの逸脱の正確な境界を導出すること。
• 混合率を強度測度 $\Lambda$ や方向関数 $\varphi$ などの幾何的量に関連付けること。

提案手法

• アフィン超平面の空間上での反復ポアソン過程による STIT テッセレーションの構成を用いる。
• 閉集合上の Fell 位相およびボレル $\sigma$-代数を用いて、当たる・当たらない集合に関連する可測事象を定義する。
• 超平面空間上の強度測度 $\Lambda$ 及びそのスケーリング性質を用いて空間的依存性を分析する。
• 指数モーメント推定を用いて、差 $|\mathbb{P}(Y\cap A=\emptyset, Y\cap T_hB=\emptyset) - \mathbb{P}(Y\cap A=\emptyset)\mathbb{P}(Y\cap B=\emptyset)|$ の上界を導出する。
• 方向依存性を特徴付けるために、$u \in \mathcal{S}^{d-1}$ に対して $\varphi(u) = \zeta(u)\|u\|$ を用いる。
• 漸近的解析および $\Lambda$ の定常性を適用し、$\|h\to\infty$ のとき $\Lambda([W_h]) \sim \varphi(h/\|h\|)\|h\|$ が成り立つことを示し、これにより $1/\|h\|$ の減少率が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 STIT テッセレーションは $\mathbb{R}^d$ で強い混合性を満たすか？
• RQ2 $\|h\|\to\infty$ のとき、事象 $\{Y\cap A=\emptyset\}$ と $\{Y\cap T_hB=\emptyset\}$ 間の共分散の最適な減少率は何か？
• RQ3 減少率における方向依存性は、幾何的強度測度 $\Lambda$ とどのように関係するか？
• RQ4 混合率をコンパクト集合 $A$ および $B$ の幾何学的性質を明示的に用いて表現できるか？
• RQ5 集合 $A$ および $B$ が連結であるとき、同時当たらない確率の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• すべての $\mathbb{R}^d$ 内の STIT テッセレーションに対して強い混合性が成立し、エルゴドリシティおよび大規模距離での漸近的独立性を示唆する。
• コンパクト集合 $A$ および $B$ に対して、当たらない事象間の共分散の減少率は最適であり、$\|h\|\to\infty$ のとき $1/\|h\|$ のオーダーである。
• 減少率は、下伏せられたポアソン過程の強度測度 $\Lambda$ に依存する方向関数 $\varphi(h/\|h\|)$ によって明示的に特徴付けられる。
• 集合 $A$ および $B$ が連結であるとき、独立性からの相対的逸脱は $\left|\frac{\mathbb{P}(Y\cap A=\emptyset, Y\cap T_hB=\emptyset)}{\mathbb{P}(Y\cap A=\emptyset)\mathbb{P}(Y\cap B=\emptyset)} - 1\right| = \frac{1}{\|h\|\varphi(h/\|h\|)}(1+o(1))$ を満たす。
• $W_h = \text{conv}(A, T_hB)$ の強度測度 $\Lambda([W_h])$ の漸近的挙動は $\varphi(h/\|h\|)\|h\|(1+o(1))$ であることが示され、これが減少率を決定づける。
• 証明は、指数モーメント母関数を用いた当たる確率の正確な表現およびドリフト項と強度項の精密な推定に依存する。