[論文レビュー] Strong openness conjecture and related problems for plurisubharmonic functions

Qi’an Guan, Xiangyu Zhou|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、正則函数の多重イデアル層の強い開口予想を解決し、重み関数の任意の小さな摂動に対しても多重イデアル層が変化しないことを証明する。$L^2$ 拡張技法と部分レベル集合における測度論的推定を用いて、部分レベル集合の体積に対する一様な下界を確立し、Demailly-Kollár と Jonsson-Mustafia の予想を確認する。また、ACC 予想に依存せずに複素特異指数の下半連続性を示す新しい証明を提供する。

ABSTRACT

In this article, we solve the strong openness conjecture on the multiplier ideal sheaves for the plurisubharmonic functions posed by Demailly. We prove two conjectures about the growth of the volumes of the sublevel sets of plurisubharmonic functions related to the complex singularity exponents and quasi-plurisubharmonic functions related to the jumping numbers, which were posed by Demailly-Kollár and Jonsson-Mustată respectively. We give a new proof of a lower semicontinuity conjecture posed by Demailly-Kollár without using the ACC conjecture. Other applications by combining with well-known results are also mentioned.

研究の動機と目的

• 正則函数の多重イデアル層の強い開口予想を解決すること。これは、$\mathcal{I}_+(\varphi) = \mathcal{I}(\varphi)$ が成り立つと仮定する。
• Demailly-Kollár が提起した、正則函数の部分レベル集合の体積の増加率と複素特異指数との関係に関する予想を確認すること。
• Jonsson-Mustafia が提起した、準正則函数の部分レベル集合の体積の振る舞いとジャンピング数に関する予想を検証すること。
• ACC 予想に依存せずに、正則函数の特異指数の下半連続性を示す新しい証明を与えること。

提案手法

• 単位多変数円板上での正則函数に対する重み付き $L^2$ 範囲における $L^2$ 拡張定理を用いて、強い開口性を確立する。
• 部分レベル集合 $\{\varphi < \log r\}$ および $\{-(R+1) < \varphi < -R\}$ の Lebesgue 測度に対する測度論的推定を用いて、一様な下界を導出する。
• 近似列 $\varphi_m$ が Lebesgue 測度において $\varphi$ に収束することを根拠とした背理法と、正則函数の超平均不等式を組み合わせる。
• 点での正規化と $L^2$ ノルム制御を満たす $L^2$ 拡張による正則函数 $F_{v,t_0}$ を構成し、可積分性が失敗する場合に矛盾を導く。
• 切断関数 $b_{t_0}(t)$ を用い、アニュラス領域 $\{-t_0-1 < \varphi < -t_0\}$ での可積分性をテストして体積推定を得る。
• 強い開口予想と、$F$ が $\int_{\Delta^n} |F|^2 e^{-\varphi} d\lambda_n < \infty$ を満たす場合に $p>1$ が存在して $\int_{\Delta^n_r} |F|^2 e^{-p\varphi} d\lambda_n < \infty$ が成り立つことの同値性を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素多様体上の正則函数 $\varphi$ に対して、多重イデアル層 $\mathcal{I}_+(\varphi)$ は $\mathcal{I}(\varphi)$ と一致するか？
• RQ2 $c_K(\varphi)$ を複素特異指数とするとき、$r \to 0^+$ において $\frac{1}{r^{2c_K(\varphi)}} \mu(\{\varphi < \log r\})$ に一様な正の下界が存在するか？
• RQ3 $\mu(\{-(R+1) < \varphi < -R\})$ の体積は、$R$ に関して指数関数的に減衰するが、$e^R$ でスケーリングした際に一様な下界が存在するか？
• RQ4 ACC 予想に依存せずに、複素特異指数の下半連続性を証明できるか？

主な発見

• 強い開口予想が確認された：任意の複素多様体上の正則函数 $\varphi$ に対して、$\mathcal{I}_+(\varphi) = \mathcal{I}(\varphi)$ が成り立つ。
• 単位多変数円板 $\Delta^n$ 上の任意の正則函数 $\varphi$ に対して、$e^R \mu(\{-(R+1) < \varphi < -R\})$ は $R \gg 0$ に対して一様な正の下界を持つ。
• $F \equiv 1$ のとき、体積 $\mu(\{-(R+1) < \varphi < -R\})$ はすべての十分大きな $R$ に対して $e^R \mu(\{-(R+1) < \varphi < -R\}) \geq C > 0$ を満たし、$C$ は領域と $\varphi$ のみに依存する。
• Demailly-Kollár が提起した部分レベル集合体積の増加率に関する予想が確認された：$r \in (0,1)$ に対して $\frac{1}{r^{2c_K(\varphi)}} \mu(\{\varphi < \log r\})$ は一様に下から有界である。
• 同様の $L^2$-に基づく測度推定により、Jonsson-Mustafia が提起した準正則函数の体積の振る舞いに関する予想が検証された。
• ACC 予想に依存せずに、複素特異指数の下半連続性を示す新しい証明が得られた。$L^2$ 拡張と測度論的議論のみを用いている。