[論文レビュー] Strong partition relations below the power set: consistency, was Sierpinski right, II?

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1991

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、冪集合より下の強力な分割関係を調査し、大数への関係と強制法の文脈における分割性質の整合性に焦点を当てる。Galvinの予想 $\omega_2\to[\omega_1]^n_{h(n)}$ を反証し、Erdös数を出発点として $2^\omega\to[\omega_1]^n_{h(n)}$ の整合性を確立する。また、非可算な $\lambda$ におけるHalpern-Läuchli型定理を一般化する。主な貢献は、$\omega_2$ を根とする分割関係における否定的結果と、$2^\omega$ を根とする関係における肯定的整合性結果である。

ABSTRACT

We continue here [She88] but we do not rely on it. The motivation was a conjecture of Galvin stating that 2^{omega} >= omega_2 + omega_2-> [omega_1]^{n}_{h(n)} is consistent for a suitable h: omega-> omega. In section 5 we disprove this and give similar negative results. In section 3 we prove the consistency of the conjecture replacing omega_2 by 2^omega, which is quite large, starting with an Erdős cardinal. In section 1 we present iteration lemmas which are needed when we replace omega by a larger lambda and in section 4 we generalize a theorem of Halpern and Lauchli replacing omega by a larger lambda .

研究の動機と目的

• 強制法と大数への文脈において、$\lambda < 2^\omega$ の形の強力な分割関係 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$ の整合性を調査すること。
• Galvinが提唱した、ある $h: \omega \to \omega$ に対して $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ の整合性が成り立つという予想を反証すること。
• Erdös数を出発点として $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ の整合性を確立すること。
• 非可算な $\lambda$ におけるHalpern-L"auchli定理を一般化し、このような $\lambda$ を含む強制構成における反復補題を開発すること。
• 強制拡大における正規上界を定義し、それらが分割非導出を示す色分けの構成における役割を分析すること。

提案手法

• 論文は、非可算基数 $\lambda$ における $\lambda$-閉強制法を用いた反復強制構成を採用し、大数構造を保存する。
• 強制順序 $\mathbb{P}$ の列に対して、$\mathcal{H}(\chi)$ 上の良い順序 $<^*_{\chi}$ を用いて一意性を保証する正規上界 $p_0 \mathbin{\&} p_1$ を導入する。
• 色分け $d$ を $[\lambda]^{n+1}$ 上で定義するため、関数 $g^1_\kappa$、$g^2_\kappa$ および色分け $d_1$、$d_2$ を用いた階層的構造を用い、順序型 $\mu$ の単色集合を避けることで、$\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$ を示す。
• モデル理論的技術、特にサイズ $<\mu$ の初等部分モデル $N_i$ を用いて、増加列 $\langle \alpha_i : i < \mu \rangle$ 及びそのクラブ $C^{i}$ との相互作用を分析する。
• 2つの場合に分ける：ケースIでは、$C^i \cap N_j$ が $\delta_j$ で有界である $j$ が非有界に存在し、$g^1_\kappa$ を用いる。ケースIIでは、$C^i \cap N_j$ が非有界であり、$g^2_\kappa$ を用いる。
• Knaster条件および静的集合の性質を活用し、必要な順序型の単色集合を含まない色分けの構成を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $h: \omega \to \omega$ に対して、分割関係 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ は整合的か？
• RQ2 Erdös数を出発点として、関係 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ が整合的に確立可能か？
• RQ3 非可算基数 $\lambda > \omega$ に置き換えたとき、強力な分割関係 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$ の挙動はいかなるものか？
• RQ4 強力な分割関係の文脈において、Halpern-L"auchli定理を非可算な $\lambda$ に一般化できるか？
• RQ5 強制順序における正規上界は、分割関係に対する反例の構成においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• Galvinの予想、すなわちある $h: \omega \to \omega$ に対して $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ が整合的であるという予想を反証し、$2^\omega \geq \omega_2$ の下でZFCにおいてその関係が成立しないことを示した。
• Erdös数を出発点として、強制拡大を構成することで $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ の整合性を確立し、$2^\omega$ がこのような形の強力な分割関係を支持することを証明した。
• $n \geq 1$ に対して、$\aleph_n \not\to_{\mathsf{stg}}[\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ が成り立つ。これは、$\aleph_n$ に対しても強力な分割関係が成立しないことを示している。
• 論文は、$n \geq 1$ に対して $\aleph_t \not\to [\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ を証明し、$n=2$ の場合にTodorČevićの結果を一般化した。
• $[\lambda]^{n+1}$ 上の色分け $d$ の構成は、ある集合 $w$ のサイズの偶奇に応じて $d_1$ と $d_2$ を用いるが、これにより順序型 $\mu$ の単色集合が存在しなくなり、$\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$ を証明する。
• ケースIIの分析、特に $C^i \cap N_j$ が非有界である場合、$\mu$ 個の異なる順序型の集合上で $g^2_\kappa$ を用い、$[A]^n$ 上で高々 $\theta$ 色の色分けを構成できる。これにより、分割関係の失敗が確認された。