[論文レビュー] Strong Proximities on Smooth Manifolds and Vorono\" i Diagrams

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿では滑らかな多様体上における強い近接性を導入し、特に正則開集合のLodato近接空間における強Hitおよび遠隔ミス位相の第二可算性を含む位相的・幾何的性質を確立する。多様体アトラス内のチャート間の強い近接性が非空交差を示すことを示し、Voronoï図や近接多様体における記述的近接性への応用を通じて、空間的データ構造の新たな位相的特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

This article introduces strongly near smooth manifolds. The main results are (i) second countability of the strongly hit and far-miss topology on a family $\mathcal{B}$ of subsets on the Lodato proximity space of regular open sets to which singletons are added, (ii) manifold strong proximity, (iii) strong proximity of charts in manifold atlases implies that the charts have nonempty intersection. The application of these results is given in terms of the nearness of atlases and charts of proximal manifolds and what are known as Vorono\" i manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上における強い近接性を確立し、その位相的性質を定義すること。
• 正則開集合のLodato近接空間における強Hitおよび遠隔ミス位相の第二可算性を証明すること。
• 多様体アトラス内のチャート間の強い近接性が非空交差を示すこと。
• 強い近接性をVoronoï図および近接多様体、特に記述的近接性を通じて応用すること。
• 特徴ベクトルとチャートの交差を用いて多様体間の記述的強い近接性を定義・分析すること。

提案手法

• 非空内部交差および単一元の包含に基づき、集合間の近接性を定義する強い近接性公理（N0–N6）を用いる。
• Lodato近接枠組みを適用し、部分基底要素 $V^{\text{doublewedge}} = \{E \in \text{CL}(X) : E \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}} V\}$ および $A^{++} = \{E \in \text{CL}(X) : E \not\delta X\setminus A\}$ を通じて超位相を定義する。
• 特徴写像 $\Phi: \mathcal{M}_1 \cup \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}^n$ を用いて、共有される特徴ベクトルに基づきセットを比較する記述的強い近接性 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}}$ を定義する。
• アトラスレベルの強い近接性を定義するために、記述的交差 $\hat{U}_i \mathop{\cap}\limits_{\Phi,\hat{\mathcal{A}}} \hat{V}_j = \{x \in \hat{U}_i \cup \hat{V}_j : \Phi(x) \in \Phi(\hat{U}_i), \Phi(x) \in \Phi(\hat{V}_j)\}$ を定義する。
• 局所的チャートをユークリッド空間に写像するための同相写像 $\varphi: S_1 \to \varphi(S_1)$, $\psi: S_2 \to \psi(S_2)$ を用い、座標空間における近接性を分析する。
• Voronoï図への応用として、領域間の共有エッジが対応する多様体間の強い近接性を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体における正則開集合の族の上に定義された強Hitおよび遠隔ミス位相は、強い近接性のもとで第二可算性を満たすか？
• RQ2 多様体アトラス内のチャート間の強い近接性は位相的に特徴付け可能であり、非空交差を示唆するか？
• RQ3 特徴ベクトルを用いて滑らかな多様体間の記述的強い近接性をどのように定義できるか、そしてそれがアトラスレベルの近接性に何を意味するか？
• RQ4 Voronoï図と近接多様体における強い近接性の関係は何か？
• RQ5 多様体のチャート間の強い近接性が、それらの背後に存在する多様体間の強い近接性を示す条件は何か？

主な発見

• Lodato近接空間の正則開集合の族 $\mathcal{B}$ における強Hitおよび遠隔ミス位相 $\tau^{\text{doublewedge}}_{\mathscr{B}}$ は第二可算である。
• 多様体の強い近接性は、アトラス内に非空交差を持つ任意の2つのチャートが強い近接性関係のもとで強く近接することを示す。
• 2つのチャート $U_i$ と $V_j$ が $\hat{U}_i \mathop{\cap}\limits_{\Phi,\hat{\mathcal{A}}} \hat{V}_j \neq \emptyset$ を満たすならば、$U_i \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}}_{\hat{\mathcal{A}},\Phi} V_j$ が成り立つ。
• 記述的強い近接性 $\mathcal{M}_1 \mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}} \mathcal{M}_2$ が成り立つのは、$\Phi(\varphi(S_1)) \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}} \Phi(\psi(S_2))$ を満たすチャート $(S_1,\varphi), (S_2,\psi)$ が存在するとき、かつそのときに限る。
• 逆の含意 $\hat{U}_i \mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}} \hat{V}_j \Rightarrow U_i \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}}_{\hat{\mathcal{A}},\Phi} V_j$ は一般には成り立たない。特徴ベクトルの重複があるからといって、像空間内での強い近接性が保証されるわけではない。