[論文レビュー] Strong q-variation inequalities for analytic semigroups

Le Merdy Christian, Xu Quanhua|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$L^p$-空間上の正の収縮作用素および解析的半群に対して、強力な $q$-変動不等式を確立する。$2 < q < \infty$ のとき、列 $(T^n(x))_{n \geq 0}$ が $L^p(\Omega; v^q)$ に属し、一様なノルム評価が成り立つことを証明する。主な結果は、バーグの変動原理を解析的作用素へと拡張し、最大エルゴード不等式を改善するとともに、$V^q$-ノルムを用いて連続的半群へ一般化する。

ABSTRACT

Let T : Lp --&gt; Lp be a positive contraction, with p strictly between 1 and infinity. Assume that T is analytic, that is, there exists a constant K such that orm{T^n-T^{n-1}} &lt; K/n for any positive integer n. Let q strictly betweeen 2 and infinity and let v^q be the space of all complex sequences with a finite strong q-variation. We show that for any x in Lp, the sequence ([T^n(x)](λ))_{n\geq 0} belongs to v^q for almost every λ, with an estimate orm{(T^n(x))_{n\geq 0}}_{Lp(v^q)}\leq C orm{x}_p. If we remove the analyticity assumption, we obtain a similar estimate for the ergodic averages of T instead of the powers of T. We also obtain similar results for strongly continuous semigroups of positive contractions on Lp-spaces.

研究の動機と目的

• 正の収縮作用素が生成する離散的および連続的半群に対して、$L^p$-空間上での強力な $q$-変動バウンドを確立すること。
• 解析的条件のもとで、バーグの $L^2$ 変動不等式を $1 < p < \infty$ の $L^p$-空間へ拡張すること。
• $q$-変動ノルムを用いて、平方関数および最大不等式に関する先行結果を統一的かつ一般化すること。
• 強連続半群に対して、$V^q$-ノルムを用いて $v^q$-変動の連続的アナログを提供すること。
• $T^n(x)$ が a.e. 収束し、一様な $L^p(v^q)$ 評価を満たすような解析的作用素のクラスを特定すること。

提案手法

• 増加するインデックス列の上での上界を取ることで、強力な $q$-変動ノルム $\|(a_n)\|_{v^q} = \sup \left( |a_0|^q + \sum_{k \geq 1} |a_{n_k} - a_{n_{k-1}}|^q \right)^{1/q}$ を定義する。
• 前人研究 [20] の平方関数不等式を、作用素の軌道の $v^q$-ノルムを制御する主要な技術的道具として用いる。
• 実数の増加列を用いた $q$-変動構造を同じくして、$t > 0$ に対する $\|(a_t)\|_{V^q}$ を定義することで、連続的アナログを確立する。
• 離散的および連続的半群を関連付けるために、特に $T_{\alpha,t} = e^{-t(-A)^\alpha}$ を通じて劣化技術を適用する。
• スペクトル理論および正規作用素の関数計算を用いて、解析的条件を検証する。特に、数値範囲およびスペクトル局在化を用いる。
• 補間および外挿技術を活用して、$L^2$ の結果を $1 < p < \infty$ の $L^p$ へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の収縮作用素 $T$ が $L^p(\Omega)$ 上に作用するとき、$2 < q < \infty$ に対して、軌道 $(T^n(x))_{n \geq 0}$ が一様な $L^p(v^q)$ バウンドを満たすための条件は何か？
• RQ2 解析的条件下で、バーグの $L^2$ 変動不等式を $1 < p < \infty$ の $L^p$-空間へ拡張できるか？
• RQ3 解析的条件 $\|T^n - T^{n-1}\| \leq K/n$ は、軌道列の $v^q$-有界性とどのように関係するか？
• RQ4 強連続半群に対する $v^q$-変動の連続的アナログは何か？ そして、$L^p$-バウンドを導出するためにどのように利用できるか？
• RQ5 強力な $q$-変動バウンドを満たす作用素のクラスは、スペクトル的または数値範囲の条件によって特徴付けられるか？

主な発見

• 任意の $x \in L^p(\Omega)$ に対して $1 < p < \infty$ ならば、$2 < q < \infty$ に対して列 $(T^n(x))_{n \geq 0}$ は $L^p(\Omega; v^q)$ に属し、$T$ が解析的かつ正の収縮作用素であれば $\|(T^n(x))_{n \geq 0}\|_{L^p(v^q)} \leq C\|x\|_p$ が成り立つ。
• エルゴード平均 $M_n(T) = (n+1)^{-1} \sum_{k=0}^n T^k$ は、任意の $1 < p < \infty$ および $2 < q < \infty$ に対して $\|(M_n(T)x)_{n \geq 0}\|_{L^p(v^q)} \leq C\|x\|_p$ を満たす。解析的仮定は不要である。
• 強連続半群 $(T_t)_{t \geq 0}$ に対して、解析的かつ正である限り、$\| \lambda \mapsto \|(T_t(x))(\lambda)\|_{V^q} \|_p \lesssim \|x\|_p$ が成り立つ。
• 劣化半群 $T_{\alpha,t} = e^{-t(-A)^\alpha}$ は、任意の $0 < \alpha < \infty$ および $2 < q < \infty$ に対して $\| \lambda \mapsto \|(T_{\alpha,t}(x))(\lambda)\|_{V^q} \|_p \lesssim \|x\|_p$ を満たす。
• $L^2(\Omega)$ 上の正規作用素に対して、解析的であることと、条件 $\sup_{n \geq 1} n\|T^n - T^{n-1}\| < \infty$ が同値であり、このような作用素は $\|(T^n(x))_{n \geq 0}\|_{L^2(v^q)} \lesssim \|x\|_2$ を満たす。
• 局所コンパクトアーベル群 $G$ における $L^p(G)$ 上の畳み込み作用素は、$|1 - \hat{\nu}(s)| \leq K(1 - |\hat{\nu}(s)|)$ を満たす場合、$L^p(v^q)$ バウンドを満たす。これは、$L^2$ 実現の解析的性を保証する。