[論文レビュー] Strong rates of convergence of space-time discretization schemes for the 2D Navier-Stokes equations with additive noise

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、加法的ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に完全にimplicitな空間時間離散化スキームを適用した場合の、強い収束速度を強く確立する。解およびその時間近似の有限指数モーメントを活用することで、局在化を用いない離散グローヴァルlemmを用いて、時間に関してはη ∈ [0, 1/2)、空間に関しては1の最適収束速度を証明する。これは加法的ノイズ条件下で、従来の結果を著しく改善する。

ABSTRACT

We consider the strong solution of the 2D Navier-Stokes equations in a torus subject to an additive noise. We implement a fully implicit time numerical scheme and a finite element method in space. We prove that the rate of convergence of the schemes is $\eta\in[0,1/2)$ in time and 1 in space. Let us mention that the coefficient $\eta$ is equal to the time regularity of the solution with values in $\LL^2$. Our method relies on the existence of finite exponential moments for both the solution and its time approximation. Our main idea is to use a discrete Gronwall lemma for the error estimate without any localization.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、完全にimplicitな時間および空間時間離散化スキームの強い収束速度を確立すること。
• 非線形SPDEにおける局在化技術の限界を乗り越えるために、解およびその時間近似の有限指数モーメントを用いること。
• 時間に関してはη ∈ [0, 1/2)、空間に関しては1の最適収束速度を、時間と空間離散化パラメータの間の制約なしに証明すること。
• 加法的ノイズ下で、粘性係数やノイズ強度に依存しない収束速度の上限を得るために、従来の多項式収束速度の結果を拡張すること。

提案手法

• トーラス上での2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間に完全にimplicitなEulerスキームと空間に有限要素法を適用する。
• 非線形項の局在化を回避するため、誤差推定に離散グローヴァルlemmを用いる。
• 特に、supₜ∈[0,T] |A¹ᐟ²u(t)|²および|Au(s)|²の時間積分に関して、解およびその時間近似の有限指数モーメントを確立する。
• 伊藤の公式およびマルティンゲール技法を用いて指数モーメントの有界性を証明し、ウィーナー増分のスケーリングおよび独立性の利用を含む。
• ホルンダーレ型のモーメント推定を適用し、ノイズ項を制御するために、共分散作用素Qを持つ中心化されたガウス型確率変数Yを用いる。
• 適切に選んだ共役指数を用いたホルダーの不等式を用いて、決定的および確率的初期条件の両ケースにおける誤差項の指数モーメントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局在化を用いない場合に、加法的ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、完全にimplicitな時間および空間時間スキームの強い収束速度を確立できるか？
• RQ2 加法的ノイズ下での時間および空間時間スキームの最適収束速度は何か？また、解の時間正則性にどのように依存するか？
• RQ3 時間と空間離散化パラメータの間の制約なしに、時間に関してはη ∈ [0, 1/2)、空間に関しては1の収束速度を達成できるか？
• RQ4 解およびその時間近似の指数モーメントは、どのように局在化なしに強い収束を導出可能にするか？
• RQ5 有限指数モーメントおよび最適収束速度を保証するために、初期条件およびノイズ強度にどのような条件が必要か？

主な発見

• 時間implicitなEulerスキームは、時間に関してη ∈ [0, 1/2)の強い収束速度を達成する。これは最適であり、粘性係数やノイズ強度に依存しない。
• 完全な空間時間スキームは、hη + kの収束速度を示す。ここでhは時間ステップ、kは有限要素のスケーリングであり、η ∈ (0, 1/2)である。空間的収束速度は1で最適である。
• 一般の有限要素で離散LBB条件を満たす場合、時間と空間離散化パラメータの間の制約なしに収束結果が成り立つ。
• H¹に属する決定的初期条件の場合、L²(Ω)において明示的な多項式収束速度が得られ、指数モーメントの有界性に依存する。
• 指数モーメントの順序がγ₀の確率的初期条件の場合、γ₀がνおよびTに対して十分に大きく、かつTr(Q)が有界であれば、収束速度は保たれる。
• 証明により、解およびその時間近似の両方に対して有限指数モーメントの存在が確立され、局在化なしにグローバルなグローバルlemmの適用が可能になる。