[論文レビュー] Strong solutions for a stochastic model of 2-D second grade fluids driven by Lévy noise

Shijie Shang, Jianliang Zhai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、変分的手法を用いて、Lévyノイズによって駆動される2次元確率的2階流体モデルに対する強確率解のグローバル存在および一意性を確立する。ガラーキン近似に対する非自明な事前推定を導出し、単調性の議論を適用することで、システムに coercivity が欠如しているという問題を克服し、局所単調条件の下でパスごとの一意性および強解の存在を証明する。

ABSTRACT

We consider a stochastic model of incompressible non-Newtonian fluids of second grade on a bounded domain of $\mathbb{R}^2$ driven by Lévy noise. Applying the variational approach, global existence and uniqueness of strong probabilistic solution is established.

研究の動機と目的

• Lévyノイズによって駆動される2次元確率的2階流体モデルに対する強確率解のグローバル存在および一意性を確立すること。
• 既存の変分的手法が要請する標準的な強強制性条件を満たさない2階流体系における挑戦に対処すること。
• ジャンプノイズ、特にLévy型ノイズを伴うSPDEに変分的手法を拡張すること、非ニュートン流体モデルに応用すること。
• 一般のLévyノイズを伴う確率的非ニュートン流体力学における強解のための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• PardouxおよびKrylov-Rozovskiiが提唱した、局所単調かつ強強制的係数を持つSPDEに適応した変分的手法を適用すること。
• 確率的システムのガラーキン近似に対する非自明な事前推定を導出すること。
• 単調性の議論を用いて極限に移行し、極限が元の確率的偏微分方程式を満たすことを示すこと。
• 2つの解の差に伊藤の公式を適用し、局所単調性条件を活用することでパスごとの一意性を証明すること。
• τ_Nを用いた停止時刻の議論により、解の差のL²ノルムを制御し、N → ∞ での収束を保証すること。
• 補償されたポアソン確率測度およびジャンプ拡散のための伊藤の公式を用いて、SPDEにおけるLévyノイズ成分を処理すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強強制性が欠如しているにもかかわらず、一般のLévyノイズによって駆動される2次元確率的2階流体モデルに対して強解が存在しうるか？
• RQ2 標準的な強強制性が成立しない状況において、変分的手法をジャンプ型Lévyノイズを伴うSPDEにどのように適合させることができるか？
• RQ3 非線形項およびノイズ係数にどのような条件を課すと、この文脈における強解の存在および一意性が保証されるか？
• RQ4 局所単調条件およびLévyノイズの下で、このようなシステムに対してパスごとの一意性が達成可能か？
• RQ5 ジャンプノイズおよび非強強制的作用素が存在する状況において、ガラーキン近似に対する事前推定をどのように確立できるか？

主な発見

• Lévyノイズによって駆動される2次元確率的2階流体方程式に対して、強確率解のグローバル存在および一意性が確立された。
• 解は、空間 L²(Ω × [0,T]; V) 内の適応過程の意味で方程式を満たし、ノイズ項は補償されたポアソン確率測度を用いて表現される。
• 証明は、近似インデックスに依存しない一様なガラーキン近似に対する事前推定を導出し、極限解への収束を可能にする。
• パスごとの一意性は、2つの解の差がほとんど確実に消えることを示すことで証明され、指数型マルティンゲール推定および停止時刻 τ_N が用いられる。
• 局所単調性と注意深いエネルギー推定に依拠することで、2階流体系における強強制性の欠如を効果的に克服した。
• 結果として、変分法の適用範囲が、特に2次元におけるLévyノイズを伴う非ニュートン流体モデルのジャンプノイズを伴うSPDEに拡張された。