[論文レビュー] Strong solutions of SDE's with generalized drift and multidimensional fractional Brownian initial noise

David Baños, Salvador Ortiz-Latorre+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$ H < \frac{1}{2} $ である小さなハースパラメータを持つ多変数の分数 Browm運動によって駆動される一般化された漂いを持つSDEに対して、強い解の存在を確立する。漂いは解の局所時刻を介して定義される。このアプローチは、Malliavin微積分と新規の局所時刻変分法を組み合わせており、分数ノイズへのスケューBrown運動の概念の拡張を含む。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of strong solutions to a SDE with a generalized drift driven by a multidimensional fractional Brownian motion for small Hurst parameters H&lt;1/2. Here the generalized drift is given as the local time of the unknown solution process, which can be considered an extension of the concept of a skew Brownian motion to the case of fractional Brownian motion. Our approach for the construction of strong solutions is new and relies on techniques from Malliavin calculus combined with a "local time variational calculus" argument.

研究の動機と目的

• 多変数の分数 Browm運動によって駆動される一般化された漂いを持つSDEクラスに対して、強い解の存在を確立すること。
• 特に $ H < \frac{1}{2} $ の場合に、スケューBrown運動の概念を分数 Browm運動の設定に拡張すること。
• 非半マルチンゲールノイズに対して、Malliavin微積分と局所時刻変分法を組み合わせた新しい解析的枠組みを構築すること。
• 標準的なBrown運動に内在するマルコフ性および半マルチンゲール性の欠如に起因する、強い解の構築の挑戦に応えること。

提案手法

• 初期ノイズに関する解過程の正則性および微分可能性を分析するためにMalliavin微積分を用いる。
• 解の局所時刻として定義される一般化された漂い項を扱うために、'局所時刻変分法'の議論を導入する。
• 適切な関数空間におけるコンパクト性基準を用いて、近似解の収束する部分列を抽出する。
• 解過程のモーメントおよびノルムの成長を制御するために、ガンマ関数の漸近的解析と特殊積分を用いる。
• 共分散行列のパーマネントを用いたガウス型モーメント推定と、ガウスベクトルの条件付き分散公式に依存する。
• 分数 Browm運動のカーネル $ K_H $ を含む積分推定を用いて、増分およびホルダー型正則性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 駆動ノイズが多変数の分数 Browm運動であり、$ H < \frac{1}{2} $ である場合に、局所時刻漂いを持つSDEに対して強い解を構築できるか？
• RQ2 マルコフ的でも半マルチンゲール的でもない設定において、Malliavin微積分を一般化された漂い（局所時刻として定義）に適応する方法は何か？
• RQ3 この非古典的SDEフレームワークにおいて、近似列の収束を保証するために必要なコンパクト性およびモーメント推定は何か？
• RQ4 スケューBrown運動の概念を、$ H < \frac{1}{2} $ の分数 Browm運動にどの程度まで一般化できるか？
• RQ5 駆動ノイズが半マルチンゲール性およびマルコフ性を欠く状況を克服するために、どのような新しい解析的ツールが必要か？

主な発見

• $ H < \frac{1}{2} $ のとき、多変数の分数 Browm運動によって駆動される一般化された漂いを持つSDEに対して強い解が存在する。
• 一般化された漂いは解過程の局所時刻として定義され、スケューBrown運動の概念が分数ノイズへの拡張を果たす。
• 解は分数 Browm運動が生成するフィルトレーションに適応しており、強い解の性質を満たす。
• この方法は、従来の文脈で用いられていない、Malliavin微積分と局所時刻変分法の新規な組み合わせに依存している。
• 近似スキームにおけるノルムの成長を制御するために、モーメント推定とガンマ関数の漸近的解析が用いられる。
• 結果はすべての次元 $ d \geq 1 $ に対して成り立ち、構成はハースパラメータ $ H $ と次元 $ d $ によって、漸近的境界における指数 $ 1 + d $ を通じて依存する。