[論文レビュー] Strong solutions of the compressible nematic liquid crystal flow

Tao Huang, Changyou Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、初期真空を許容する3次元の簡略化されたエリクセン＝レズリー系に従う圧縮性ネマチック液晶流れに関して、強い解の局所的存在および一意性を確立する。密度の$L^\infty_t L^\infty_x$ノルムと$\nabla d$の$L^3_t L^\infty_x$ノルムの増大に基づく爆発基準を導出し、特異性が有限時間内に発生するのはこれらの量が無限大に発散する場合に限ることを証明する。

ABSTRACT

We study strong solutions of the simplified Ericksen-Leslie system modeling compressible nematic liquid crystal flows in a domain $Ω\subset\mathbb R^3$. We first prove the local existence of unique strong solutions provided that the initial data $ρ_0, u_0, d_0$are sufficiently regular and satisfy a natural compatibility condition. The initial density function $ρ_0$ may vanish on an open subset (i.e., an initial vacuum may exist). We then prove a criterion for possible breakdown of such a local strong solution at finite time in terms of blow up of the quantities $\|ρ\|_{L^\infty_tL^\infty_x}$ and $\| abla d\|_{L^3_tL^\infty_x}$.

研究の動機と目的

• 初期密度が領域の開部分集合上で0である可能性がある$\mathbb{R}^3$における圧縮性ネマチック液晶流れの強い解の存在および一意性の確立。
• 初期データに最小限の適合性および正則性仮定を課したもとでの解の正則性と、その崩壊の可能性の分析。
• 密度の$L^\infty$ノルムと$\nabla d$の$L^3$ノルムに基づく、有限時間内に特異性が発生する条件を特徴付ける爆発基準の導出。

提案手法

• 速度場$u$、密度$\rho$、およびディレクター場$d$のエネルギー推定と$L^p$型の事前評価を用いる。
• 物理的粘性制約$\mu > 0$、$2\mu + 3\lambda \geq 0$を満たす粘性応力のモデルとして、ラムエ作用素$\mathcal{L}u = \mu\Delta u + (\mu + \lambda)\nabla\mathrm{div}\, u$を適用する。
• 連続の方程式$\rho_t + \nabla \cdot (\rho u) = 0$と運動量方程式$\rho u_t + \rho u \cdot \nabla u + \nabla P(\rho) = \mathcal{L}u - \nabla d \cdot \Delta d$を用いて圧縮性流体の力学をモデル化する。
• ヘンスルマップの熱方程式型方程式$d_t + u \cdot \nabla d = \Delta d + |\nabla d|^2 d$を用いてネマチックディレクター場の時間発展を記述する。
• ソボレフおよび補間不等式を用いて、$u$および$d$の高階微分、特に$\nabla^2 u$、$\nabla^2 d_t$、$\nabla^4 d$を制御する。
• 解が任意の有限時刻$T_*$以降にまで延長可能であることを示すために、$\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$および$\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$が有界のままであれば、爆発基準が成立することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が開集合上で0である場合でも、圧縮性ネマチック液晶流れの強い解が局所的に時間内に存在する条件は何か？
• RQ2 強い解のグローバル存在を保証する十分条件は何か。また、有限時刻を超えて解が継続できないのは何が原因か？
• RQ3 密度$\rho$およびディレクター場勾配$\nabla d$の増大は、解の爆発可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 初期データ$\rho_0, u_0, d_0$が十分に滑らかで、自然な適合条件を満たせば、$\Omega$の開部分集合上で$\rho_0$が0であっても、強い解が一意に存在する。
• 任意の時刻区間$[0, T_*)$において$\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$および$\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$が有界のままであれば、解は正則性を保つ。
• $\nabla^2 u$の$L^2$ノルムは、$\|\rho^{1/2} \dot{u}\|_{L^2}$、$\|\nabla d\|_{L^\infty} \|\Delta d\|_{L^2}$および低次の項によって、時間に一様に制御される。
• 爆発基準が発動しなければ、$u_t$、$\nabla^2 d_t$、$\nabla^4 d$の高階推定値は時間に一様に有界である。
• 爆発基準は鋭い：解が有限時刻$T_*$で崩壊するならば、$t \to T_*^-$のとき、$\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$または$\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$の少なくとも一方が発散する必要がある。
• 証明は背理法に依拠する：$T_*$を最大存在時刻と仮定すると、$\nabla^2 u$、$\nabla^2 d_t$、$\nabla^4 d$の一様有界性から、解は$T_*$以降にも延長可能であることが示され、最大性に矛盾する。