[論文レビュー] Strong Splitter Theorem

S. R. Kingan, Manoel Lemos|Jan 21, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、マトロイド理論における古典的スプリッタ定理の改良版である強スプリッタ定理を導入する。この定理は、3連結なマトロイド $M$ からマイナー $N$ への単一要素拡張またはコ拡張の列を保証し、その後に続くコ拡張の前に最大2つの連続した拡張が許容されることを示す。主な貢献は、2つの拡張に続いてコ拡張が続く場合、その3つの要素が結果のマトロイド内でトライアドを形成することである。この結果により、$E_4$-マイナーを含まないが $E_5$-マイナーを含む二進ほぼ正則マトロイドの完全な分類が可能となり、それらは $E_5$、$B$、$B^*$、$X_{12}$、または $S_{3n+1}$、$\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$ の制限に同型であることが示された。本定理はマトロイドマイナーおよび正則性の性質の分析を強化する。

ABSTRACT

The Splitter Theorem states that, if $N$ is a 3-connected proper minor of a 3-connected matroid $M$ such that, if $N$ is a wheel or whirl then $M$ has no larger wheel or whirl, respectively, then there is a sequence $M_0,..., M_n$ of 3-connected matroids with $M_0\cong N$, $M_n=M$ and for $i\in \{1,..., n\}$, $M_i$ is a single-element extension or coextension of $M_{i-1}$. Observe that there is no condition on how many extensions may occur before a coextension must occur. In this paper, we give a strengthening of the Splitter Theorem, as a result of which we can obtain, up to isomorphism, $M$ starting with $N$ and at each step doing a 3-connected single-element extension or coextension, such that at most two consecutive single-element extensions occur in the sequence (unless the rank of the matroids involved are $r(M)$). Moreover, if two consecutive single-element extensions by elements $\{e, f\}$ are followed by a coextension by element $g$, then $\{e, f, g\}$ form a triad in the resulting matroid. Using the Strong Splitter Theorem, we make progress toward the problem of determining the almost-regular matroids [6, 15.9.8]. {\it Find all 3-connected non-regular matroids such that, for all $e$, either $M\backslash e$ or $M/e$ is regular.} In [4] we determined the binary almost-regular matroids with at least one regular element (an element such that both $M\backslash e$ and $M/e$ is regular) by characterizing the class of binary almost-regular matroids with no minor isomorphic to one particular matroid that we called $E_5$. As a consequence of the Strong Splitter Theorem we can determine the class of binary matroids with an $E_5$-minor, but no $E_4$-minor.

研究の動機と目的

• 3連結なマトロイドをマイナーから構築する際の拡張およびコ拡張の列に対して、連続する拡張の数に構造的制約を課すことで、古典的スプリッタ定理を強化すること。
• $E_4$-マイナーを含まないが $E_5$-マイナーを含む二進ほぼ正則マトロイドを分類し、マトロイド正則性理論における問題を解決すること。
• そのようなマトロイドの完全な集合を特定し、それが特定の既知のクラスまたは小さな例外ケースに限られることを示すこと。
• 新しい構造的制約を用いて、$M_{12}$ が $E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない二進マトロイドのクラスにおけるスプリッタであることを証明すること。

提案手法

• 単一要素拡張の列がコ拡張の前に最大2つの連続したステップに制限されるように、スプリッタ定理の洗練版を構築すること。
• トライアド条件を導入：2つの拡張に続いてコ拡張が続く場合、関与する3つの要素は結果のマトロイド内でトライアドを形成する。
• 強スプリッタ定理を用いて、$E_5$ の単一要素拡張およびコ拡張を分析し、$E_4$-マイナーを含まないマトロイドに制限すること。
• 行列表現への列の加法を分析し、行および列の操作を用いて、そのような拡張およびコ拡張をすべて構築・分類すること。
• $E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない3連結な二進マトロイドは、$E_5$、$B$、$B^*$、$X_{12}$、または $S_{3n+1}$、$\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$ の制限に限られることを証明すること。
• $M_{12}$ よりも先のコ拡張は $E_4$-マイナーを導入するため、$M_{12}$ がスプリッタであることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スプリッタ定理は、拡張およびコ拡張の列における連続的拡張の数を制御するように強化可能か？
• RQ2 $E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない3連結な二進ほぼ正則マトロイドの完全な集合は何か？
• RQ3 $M_{12}$ は、$E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない二進マトロイドのクラスにおけるスプリッタか？
• RQ4 3連結マトロイド列において、2つの連続した拡張に続いてコ拡張が続く場合に生じる構造的制約は何か？
• RQ5 ほぼ正則性およびマイナー回避の文脈において、$S_{3n+1}$、$\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$ の3連結制限として現れるマトロイドはどれか？

主な発見

• 強スプリッタ定理により、任意の3連結マトロイド $M$ は、マイナー $N$ から3連結な単一要素拡張またはコ拡張の列を経て構築可能であり、コ拡張の前に最大2つの連続した拡張が許容される。
• 2つの連続した拡張に続いてコ拡張が続く場合、関与する3つの要素は結果のマトロイド内でトライアドを形成する。
• $E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない3連結な二進マトロイドは、$E_5$、$B$、$B^*$、$X_{12}$、または $S_{3n+1}$、$\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$（$n \geq 3$、$m,n,r \geq 1$）の制限に限られる。
• $M_{12}$ は、$E_5$-マイナーを含むが $E_4$-マイナーを含まない二進マトロイドのクラスにおけるスプリッタである。なぜなら、$E_4$-マイナーを導入せずにさらにコ拡張が存在しないからである。
• $E_5$-マイナーを含み $E_4$-マイナーを含まない3連結な二進ほぼ正則マトロイドは、$E_5$、$B$、$B^*$、$X_{12}$、または指定された族に限られ、分類が完全に確認された。
• $E_4$-マイナーを含むマトロイド $H$ は、例外ケースを除くすべてのほぼ正則マトロイドで $E_5$-マイナーを含む拡張において必須のマイナーである。これは、$H$-マイナーの存在がこのような拡張において避けられないことを示唆する。