[論文レビュー] Strong stability preserving explicit linear multistep methods with variable step size

Yiannis Hadjimichael, David I. Ketcheson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非線形双曲型PDEの時間積分に適した可変ステップサイズを有する最初の強安定性保持（SSP）明示的線形多段法（LMM）を提示する。SSP係数の鋭い上界を確立し、最適な2次および3次法を導出し、波速が変化する状況下でも単調性を保ち、安定性特性を維持するグリーディなステップサイズ戦略の下で安定性と収束性を証明する。

ABSTRACT

Strong stability preserving (SSP) methods are designed primarily for time integration of nonlinear hyperbolic PDEs, for which the permissible SSP step size varies from one step to the next. We develop the first SSP linear multistep methods (of order two and three) with variable step size, and prove their optimality, stability, and convergence. The choice of step size for multistep SSP methods is an interesting problem because the allowable step size depends on the SSP coefficient, which in turn depends on the chosen step sizes. The description of the methods includes an optimal step-size strategy. We prove sharp upper bounds on the allowable step size for explicit SSP linear multistep methods and show the existence of methods with arbitrarily high order of accuracy. The effectiveness of the methods is demonstrated through numerical examples.

研究の動機と目的

• 波速が動的に変化する非線形双曲型PDEにおける時間積分の課題に対処するため、可変ステップサイズを有する最初の強安定性保持（SSP）線形多段法（LMM）を開発すること。
• 固定ステップサイズのSSP LMMには限界があるが、これは積分中にCFL制限ステップサイズが変化する場合に非効率的または失敗するおそれがあるため、それを克服すること。
• ステップサイズ比に依存する、可変ステップサイズLMMのSSP係数に対する鋭い理論的上界を確立すること。
• SSP性質が保たれるとともに、高次精度と安定性を維持する最適なステップサイズ戦略を設計すること。
• 問題とステップサイズ列にやや弱い仮定を置いた下で、提案された最適法の安定性と収束性を証明すること。

提案手法

• ステップサイズ $ h_n $ が段階ごとに変化するため、時間依存係数 $ \alpha_{j,n} $ と $ \beta_{j,n} $ を用いて可変ステップサイズLMMを定式化する。
• ステップサイズ比 $ \omega_j = h_{n-k+j} / h_n $ と累積和 $ \Omega_j = \sum_{i=1}^j \omega_i $ を導入し、相対的ステップサイズで表現する。
• 各ステップでSSP性質が保たれるように、$ h_n \leq \min_j \left( \frac{\alpha_{j,n}}{\beta_{j,n}} \times h_{\text{FE}}(u_{n-k+j}) \right) $ を満たすグリーディなステップサイズ戦略を導入する。
• 係数比の再帰的解析を用いて、2次および3次法のSSP係数に対する鋭い上界を導出し、証明する。
• 補助列 $ h^{\pm}_n $ 及びそのスケーリング版 $ \tau^{\pm}_n $ を用いた比較原理を用い、ステップサイズ列が安定な極限に収束することを証明する。
• 定理11（有界比を持つ再帰的数列に関するもの）を適用し、$ \tau_n \to \frac{k-2}{k-1} $ （$ n \to \infty $）を示し、ステップサイズの進化が有界かつ安定であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変ステップサイズを有する2次および3次明示的線形多段法のSSP係数に対する鋭い理論的上界は何か？
• RQ2 可変ステップサイズを有する最適なSSP LMMを2次および3次で構築可能か？ その際、強安定性と高次精度を保つことができるか？
• RQ3 波速の変化に伴い許容可能ステップサイズ $ h_{\text{FE}} $ が変動する状況で、SSP性質を維持するステップサイズ戦略はどのように設計できるか？
• RQ4 提案された可変ステップサイズSSP LMMは、選択されたステップサイズ戦略の下でも安定かつ収束するか？
• RQ5 任意の高次数のSSP LMMを可変ステップサイズで構築可能か？ その可能性を制限する要因は何か？

主な発見

• 可変ステップサイズLMMの2次および3次法に対するSSP係数の鋭い上界が導出され、それが最適であることが証明された。この上界はステップサイズ比 $ \omega_j $ に依存する。
• 係数を可変ステップサイズ制約下でSSP係数を最大化するように選ぶことにより、最適な2次および3次SSP LMMが明示的に構築された。
• 本稿では、$ k $ 次法に対してSSP係数が上界 $ \frac{k-2}{k-1} $ で抑えられ、かつこの上界が鋭く、提案戦略下で達成可能であることを証明した。
• グリーディなステップサイズ戦略が、$ h_n \leq \min_j \left( \frac{\alpha_{j,n}}{\beta_{j,n}} \right) \times h_{\text{FE}}(u_{n-k+j}) $ を満たすことで、SSP性質が保たれることを証明した。この戦略は安定性と収束性を維持する。
• やや弱い仮定の下で、ステップサイズ列 $ h_n $ が安定な極限に収束し、$ \tau_n = h_n / \mu_n \to \frac{k-2}{k-1} $ （$ n \to \infty $）を満たすことが示された。これにより長期的安定性が保証される。
• 提案されたステップサイズ戦略の下で、これらの方法が無条件に安定かつ収束することが証明され、収束次数は法の次数と一致する。