[論文レビュー] Strong Taylor approximation of stochastic differential equations and application to the Lévy LIBOR model

Antonis Papapantoleon, Maria Siopacha|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パラメータ周りの摂動およびテイラー展開を用いて解を近似する手法により、Lévy過程や一般のセミマルティンググレンの駆動を受ける確率微分方程式（SDE）の強近似法を提案する。この手法は、標準的な凍結ドリフト近似よりも高い精度と計算効率を実現し、Lévy LIBORモデルにおけるキャップおよびスワプティオンの価格設定において、ストライクや残存期間にかかわらずインプライド・ボラティリティの差が1%未塔である。

ABSTRACT

In this article we develop a method for the strong approximation of stochastic differential equations (SDEs) driven by Lévy processes or general semimartingales. The main ingredients of our method is the perturbation of the SDE and the Taylor expansion of the resulting parameterized curve. We apply this method to develop strong approximation schemes for LIBOR market models. In particular, we derive fast and precise algorithms for the valuation of derivatives in LIBOR models which are more tractable than the simulation of the full SDE. A numerical example for the Lévy LIBOR model illustrates our method.

研究の動機と目的

• Lévy過程やセミマルティングルの駆動を受けるSDEの強近似法として、一般的かつ計算効率の良い手法の開発を目的とする。
• 特にスワプティオンや長期の残存期間において問題となる、LIBOR市場モデルにおける凍結ドリフト近似の限界を是正することを目的とする。
• 摂動SDEのテイラー展開を用いて、理論的裏付けのある高次近似法を、凍結ドリフト法の代替として提供することを目的とする。
• 完全なSDEシミュレーションを実行せずに、Lévy LIBORモデルにおける金利デリバティブの高速かつ高精度な評価を可能とすることを目的とする。
• 完全なSDEシミュレーションおよび凍結ドリフト近似との数値的比較を通じて、本手法の精度を実証することを目的とする。

提案手法

• 元のSDEに実数パラメータを導入することで、パラメータ化されたSDEの族を構築する。
• 摂動SDEの解をパラメータ値0の周りでテイラー展開し、1次項を保持する。
• 得られた1次テイラー近似を、デリバティブ価格設定式における完全なSDEダイナミクスの代わりに使用する。
• 近似されたLIBORレートを代入することで、キャップレットおよびスワプティオン価格の明示的表現を導出する。
• インプライド・ボラティリティの差を用いて、本手法の性能を完全なSDEシミュレーションおよび凍結ドリフト近似と比較する。
• 前向き測度および測度変換技術を用いて、近似されたLIBORダイナミクスに基づくスワプティオン価格を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy LIBORモデルにおいて、高次近似法は凍結ドリフト近似を上回る性能を示せるか？
• RQ2 1次強近似テイラー法は、キャップレットおよびスワプティオンの完全なSDEシミュレーション結果をどれほど正確に再現できるか？
• RQ3 特に長期デリバティブにおいて、テイラー法はストライクや残存期間にかかわらず低誤差を維持できるか？
• RQ4 本手法は、連続拡散過程に限らず、一般のセミマルティングルの駆動を受けるLIBORモデルに普遍的に適用可能か？
• RQ5 実際の応用において、完全なSDEシミュレーションに比べて、テイラー法の計算的利点は何か？

主な発見

• 強近似テイラー法により、完全なSDEシミュレーションと近似法との間のインプライド・ボラティリティ差が、すべてのストライクおよび残存期間で1%未塔に抑えられる。
• インオブザマネー・オプションにおいて、凍結ドリフト近似はインプライド・ボラティリティ差が1%の閾値を超えることがあり、顕著な不正確さを示す。
• スワップ残存期間が延びるにつれて、凍結ドリフト法の性能は劣化するが、テイラー法は安定的かつ正確なままである。
• 1次テイラー近似は、0次近似である凍結ドリフト近似に理論的裏付けのある改善を提供する。
• 本手法により、完全なSDEをシミュレートせずに、キャップおよびスワプティオンの高速かつ高精度な価格設定が可能となり、デリバティブ評価の実用的代替手段を提供する。
• 数値結果により、本手法が、すべてのテストされた残存期間およびストライクにおいて、キャップレットおよびスワプティオン価格設定において、凍結ドリフト近似を上回ることが確認された。