[論文レビュー] Strong Time-Periodic Solutions to the 3D Primitive Equations subject to Arbitrary Large Forces

Giovanni P. Galdi, Matthias Hieber+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の大きな時間周期的外力に対して、小規模仮定を課さずに、3次元原始系方程式に対する強い時間周期的解の存在を確立する。ガリルキン近似とブロワーの不動点定理を組み合わせて弱い時間周期的解を構成し、その後弱い解と強い解の一意性を示すことにより、この弱解が強い正則性を有することを示し、外力の大きさにかかわらず強い解が得られることを示している。外力が時間に依存しない場合、これは定常解に対応する。

ABSTRACT

We show that the three-dimensional primitive equations admit a strong time-periodic solution of period $T>0$, provided the forcing term $f\in L^2(0,\mathcal T; L^2(Ω))$ is a time-periodic function of the same period. No restriction on the magnitude of $f$ is assumed. As a corollary, if, in particular, $f$ is time-independent, the corresponding solution is steady-state.

研究の動機と目的

• 任意の大きな周期的外力に対して、3次元原始系方程式に対する強い時間周期的解の存在を確立すること。
• 従来の結果が外力項に小規模条件を要していたという制限を克服すること。
• 原始系方程式に対する定常解の古典的レーラー型存在結果を、ナビエ＝ストークス方程式の場合と同様に拡張すること。
• 弱解と一意性のアプローチを用いて、外力が小さくない場合でも時間周期的解が存在することを示すこと。

提案手法

• ガリルキン法とブロワーの不動点定理を組み合わせて弱い時間周期的解を構成する。
• 弱解の時間周期性を用いて、時刻 $ t_0 $ における初期データを特定し、これが $ H^1( abla) $ に属することを示す。
• 初期値問題に対するグローバルな強い適切性結果（補題4.1）を適用し、初期データ $ v(t_0) $ から一意な強い解 $ u $ を生成する。
• エネルギー推定とフレドリクス法による時間の滑らか化を用いて、弱解 $ v $ と強い解 $ u $ を比較することで弱い解と強い解の一意性を証明する。
• 部分積分とピオンカーリング/ヤングの不等式を用いて、差 $ ho = v - u $ を評価し、グローバル型推定に帰着させる。
• 結論として、$ v o u $ が空間時間で almost everywhere ( a.e. ) に成り立つことから、$ v $ が強い正則性を有し、強い解であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元原始系方程式に対する強い時間周期的解は、任意の大きな周期的外力に対して存在するか？
• RQ2 外力に小規模仮定がない場合、強い時間周期的解の存在は妨げられるか？
• RQ3 弱い解と強い解の一意性の原理を時間周期的弱解に適用することで、正則性を向上させることができるか？
• RQ4 原始系方程式に対する定常解の存在結果を、ナビエ＝ストークス方程式のレーラーの結果に類似した形で、任意の外力の大きさにまで拡張できるか？

主な発見

• 任意の時間周期的外力 $ f eq 0 $ が $ L^2(0, au; L^2( abla)) $ に属する限り、3次元原始系方程式は、$ f $ の大きさにかかわらず強い時間周期的解を有する。
• 解は、後に弱い解と強い解の一意性により強い正則性を示す弱い時間周期的解を経由して構成される。
• 従来のタキム・メディョおよびヒシア＝シウの研究とは異なり、外力に小規模仮定を必要としない。
• 外力 $ f $ が時間に依存しない場合、時間周期的解は定常解に簡約され、任意の大きな外力に対しても存在が保証される。
• 証明は時間の滑らか化、エネルギー推定、およびグローバルの補題を用いて、弱解が強い解と一致することを示している。
• 本結果は、ナビエ＝ストークス方程式の古典的枠組みを原始系方程式へ拡張する上で顕著な進展をもたらし、任意の外力の大きさに対して解の存在を確立した。