[論文レビュー] Strong uniqueness for certain infinite dimensional Dirichlet operators and applications to stochastic quantization

Vitali Liskevich, Michael Röckner|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、有限次元射影における事前推定を用いて、無限次元ディリクレ作用素の強い一意性を確立し、2次元ユークリッド量子場理論における確率的量子化の生成子の本質的自己共役性および$L^p$-一意性を証明する。この手法は、対数微分が2つの成分に分解される測度に一般化され、長年の$L^2$-設定における未解決問題を解決し、$p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$ における$L^p$へ拡張される。主な貢献は、次元に依存しない勾配推定に基づく、$L^p$-一意性の新しい基準である。

ABSTRACT

Strong and Markov uniqueness problems in $L^2$ for Dirichlet operators on rigged Hilbert spaces are studied. An analytic approach based on a--priori estimates is used. The extension of the problem to the $L^p$-setting is discussed. As a direct application essential self--adjointness and strong uniqueness in $L^p$ is proved for the generator (with initial domain the bounded smooth cylinder functions) of the stochastic quantization process for Euclidean quantum field theory in finite volume $Λ\subset \R^2$.

研究の動機と目的

• 無限次元設定におけるリガードヒルベルト空間上のディリクレ作用素の強い一意性問題を解決すること。
• 有限体積$\Lambda \subset \mathbb{R}^2$における確率的量子化の生成子の本質的自己共役性および$L^p$-一意性を確立すること。
• 対数微分が2つの異なる成分を持つ場合に、従来の事前推定手法を一般化すること。
• 解析的手法を$L^p$-設定に拡張し、$p \neq 2$ における$C_0$-半群生成子の一意性を証明すること。
• Markovの一意性のための新しい近似基準を、$L^1$-一意性に基づいて提供すること。

提案手法

• ディリクレ作用素に関連する放物型方程式の有限次元射影における解の勾配に関する事前推定を用いる。
• $\nabla u_n$ に対する次元に依存しない$L^{2p}$-空間における境界を適用し、近似半群の挙動を制御する。
• 無限次元の一意性問題を、有限次元近似における一様推定に還元する。
• $L^p$-一意性のためのテスト関数として$\nabla_i u_n (|\nabla u_n|^2 + \varepsilon)^{p-2}$ を用い、$L^2$-ケースを一般化する。
• $\beta = \alpha + \delta$ の対数微分に条件を課し、$|\alpha|_0 \in L^{2p}$, $|\delta|_- \in L^2$, および$L^p$で$\delta^m$ が$\delta$ に収束するような数列を仮定する。
• 元の作用素の$\mathcal{F}C^\infty_b$ 上の半群拡張が、同じ数列によって近似可能であることを示すことにより、一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らかな対数微分を持つ無限次元ディリクレ形式に対して、$\mathcal{F}C^\infty_b$ 上のディリクレ作用素が$L^2$で本質的自己共役となる条件は何か？
• RQ2 事前推定手法は、$p \neq 2$ における$L^p$-一意性を証明するために拡張可能か？また、$\beta$ および近似列$\delta^m$ に必要な条件は何か？
• RQ3 本手法は、$L^1$-一意性に基づくMarkovの一意性のための新しい基準をもたらすか？また、既存の結果とどのように関係するか？
• RQ4 $L^p$-一意性が成り立つ最適な$p$の範囲は何か？また、$p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$ の制限は必要か、技術的か？
• RQ5 本手法は、変数で滑らかでない係数や特異ポテンシャルを持つディリクレ形式に適応可能か？

主な発見

• 定理1の条件下で、$(-\Delta - (\beta, \nabla \cdot)_+ \restriction \mathcal{F}C^\infty_b)$ は、$L^2(\mathcal{H}_{-}, \nu)$ において本質的自己共役であり、確率的量子化における未解決問題を解決する。
• $p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$ に対して、$\Delta + (\beta, \nabla \cdot)\restriction \mathcal{F}C^\infty_b$ は、$L^p$ 上で$C_0$-半群を生成する一意な拡張を持つ（定理3）。
• $L^1$-一意性結果（定理2）は、より単純な事前推定により確立され、Markovの一意性のための新しい近似基準を提供する。
• $L^1$-一意性結果は、$p \leq 1 + 1/(1+\sqrt{\varepsilon_0})$ における定理3を補完し、定理4では$|\alpha|_0$ の弱い可積分性条件下で$p \in [1,2)$ に拡張する。
• 本手法は、修正されたテスト関数と一様勾配推定を用いて、$p \in [1,2)$ および $p > 1$ における$L^p$-一意性に一般化可能であり、$p=3/2$ の場合、$\delta=0$ のとき[29]の結果が回復される。
• 結果は、多項式自己相互作用を有する2次元ユークリッド量子場としての、有限体積における$\phi^4_2$-理論の確率的量子化に直接適用可能である。