[論文レビュー] Strongly consistent autoregressive predictors in abstract Banach spaces

M. D. Ruiz‐Medina, J. Álvarez-Liébana|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2018

Statistical Methods and Inference被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Kuelbsの補題を用いてGelfand三重項を構成し、再生核ヒルバート空間（RKHS）を装備付きヒルバート空間構造に埋め込むことにより、抽象的可分Banach空間における自己回帰予測子の強い一貫性を確立する。自己相関作用素の成分ごとの推定子が作用素ノルムで強い一貫性を示すことが示され、これによりBanach空間ノルムにおけるプラグイン予測子の強い一貫性が保証される。

ABSTRACT

This work derives new results on strong consistent estimation and prediction for autoregressive processes of order 1 in a separable Banach space B. The consistency results are obtained for the component-wise estimator of the autocorrelation operator in the norm of the space L(B) of bounded linear operators on B. The strong consistency of the associated plug-in predictor then follows in the B-norm. A Gelfand triple is defined through the Hilbert space constructed in Kuelbs (1970)' lemma. A Hilbert--Schmidt embedding introduces the Reproducing Kernel Hilbert space (RKHS), generated by the autocovariance operator, into the Hilbert space conforming the Rigged Hilbert space structure. This paper extends the work of Bosq (2000) and Labbas and Mourid 2002.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間を超えて一般の可分Banach空間へAR(1)過程の強い一貫性結果を拡張すること。
• 従来のヒルベルト空間手法が不十分となる関数的予測の課題に対処すること。
• 連続的埋め込みとRKHS理論を用いた一貫性推定および予測のための厳密な枠組みを確立すること。
• Bosq (2000) や Labbas & Mourid (2011) の先行研究を、より強い一貫性保証を伴う任意の可分Banach空間へ一般化すること。
• 核空間や他の埋め込み性質が良好なBanach空間における関数時系列予測の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• Kuelbsの補題を用いて可分Banach空間 $ B $ をヒルベルト空間 $ \widetilde{H} $ に埋め込むGelfand三重項を構築し、ヒルベルト空間の道具の使用を可能にする。
• 自己共分散作用素によって生成されるRKHSをヒルベルト空間 $ \widetilde{H} $ にヒルベルト＝シュミット埋め込みとして定義し、RKHSが稠密かつ連続的埋め込みであることを保証する。
• 離散ウェーブレット変換を用いて $ \widetilde{H} $ 内の正規直交基底 $ \{F_{\mathbf{m}}\} $ と重み列 $ \{t_{\mathbf{m}}\} $ を定義し、Banach空間ノルムとRKHSノルムを関連付ける。
• Bessel潜在空間によるノルム同値性を確立する：$ B = B_{\infty,\infty}^0[0,1] \hookrightarrow \widetilde{H} = H_2^{-\beta}[0,1] $、$ \beta > 1/2 $ とし、連続的埋め込みを保証する。
• $ L^2[0,1] $ 上で作用する作用素 $ C = (I - \Delta)^{-\gamma} $ を定義し、$ \gamma > 2\beta > 1 $ とすることで、RKHSノルム同値性を満たすスペクトル条件を満たす。
• 自己相関作用素 $ \rho \in \mathcal{L}(B) $ の成分ごとの推定子が作用素ノルム $ \|\cdot\|_{\mathcal{L}(B)} $ で強い一貫性を示すことを証明し、これにより$ B $-ノルムにおけるプラグイン予測子の強い一貫性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の可分Banach空間、特に $ \mathcal{C}[0,1] $ や $ \mathcal{D}[0,1] $ に限らない範囲で、自己回帰予測子の強い一貫性を確立できるか。
• RQ2 自己共分散作用素によって誘導されるRKHS構造を、Banach空間における一貫性推定を可能にするヒルベルト空間にどのように埋め込むことができるか。
• RQ3 Banach空間およびそのヒルベルト空間への埋め込みに関するどのような条件が、プラグイン予測子の強い一貫性を保証するか。
• RQ4 装備付きヒルベルト空間およびBessel潜在空間の枠組みを用いて、関数的時系列予測における既存の結果を統一的かつ拡張できるか。
• RQ5 ウェーブレット基底および離散変換は、Banach空間およびその双対空間のノルム構造を特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• 自己相関作用素 $ \rho $ の成分ごとの推定子が作用素ノルム $ \|\cdot\|_{\mathcal{L}(B)} $ で強い一貫性を示し、有界線形作用素のBanach空間における収束を保証する。
• 実証的自己相関作用素に基づくプラグイン予測子が$ B $-ノルムで強い一貫性を示し、古典的なヒルベルト空間設定からBanach空間設定への結果の拡張が達成される。
• Kuelbsの補題を用いたGelfand三重項の構築により、Banach空間 $ B $ がヒルベルト空間 $ \widetilde{H} $ に埋め込まれ、RKHS理論の適用が可能になる。
• 自己共分散作用素によって生成されるRKHSは、$ \widetilde{H} $ にヒルベルト＝シュミット部分空間として埋め込まれ、一貫性に必要なコンパクト性および滑らかさが保証される。
• $ \beta > 1/2 $ の下で、空間 $ \widetilde{H} = H_2^{-\beta}[0,1] $ は適切に定義されており、$ B = B_{\infty,\infty}^0[0,1] $ を含み、$ B^* = B_{1,1}^0[0,1] \hookrightarrow \widetilde{H}^* = H^\beta[0,1] $ を満たし、必要な埋め込み条件を満たす。
• スペクトル条件 $ \gamma > 2\beta > 1 $ により、作用素 $ C = (I - \Delta)^{-\gamma} $ が $ \|f\|_{\mathcal{H}(X)}^2 \geq \|f\|_{\widetilde{H}^*}^2 $ を満たすことが保証され、一貫性証明のための仮定A4が検証される。