[論文レビュー] Strongly degenerate time inhomogeneous SDEs: densities and support properties. Application to a Hodgkin-Huxley system with periodic input

Reinhard Höpfner, Eva Löcherbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所的ホルマンダー条件を満たす条件下で、非グローバルリプシッツ係数および1次元のノイズを有する強力に退化した時非一様確率微分方程式（SDE）に対して、連続的かつ正の遷移密度の存在を確立する。これらの結果を周期的入力を持つ5次元の確率的ホジキン＝ハクスリー・モデルに適用し、安定な均衡点または周期軌道の近傍で密度の存在と正値性を証明する。これにより、将来的なエルゴード性および統計的推論に関する研究が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study the existence of densities for strongly degenerate stochastic differential equations (SDEs) whose coefficients depend on time and are not globally Lipschitz. In these models neither local ellipticity nor the strong Hörmander condition is satisfied. In this general setting we show that continuous transition densities indeed exist in all neighborhoods of points where the weak Hörmander condition is satisfied. We also exhibit regions where these densities remain positive. We then apply these results to stochastic Hodgkin-Huxley models with periodic input as a first step towards the study of ergodicity properties of such systems in the sense of [27]-[28].

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ係数を有する強力に退化した時非一様SDEの遷移密度の存在および正則性を確立すること。
• このような系における密度の台の性質および厳密に正となる領域を分析すること。
• 理論的結果を周期的シナプス入力を有する5次元の確率的ホジキン＝ハクスリー・モデルに適用すること。
• 神経動力学モデルにおける将来的なエルゴード性および統計的推論のための基盤を提供すること。
• 理論的SDE理論と、電導に基づくモデルおよび確率的入力を持つ神経科学的応用を橋渡しすること。

提案手法

• Malliavin微積分と弱いホルマンダー条件を用いて、時間に依存する非リプシッツ係数を有するSDEのLebesgue密度の存在を証明する。
• 支持定理および時間に依存するベクトル場解析を適用し、密度が厳密に正となる領域を同定する。
• 内部変数と確率的入力を有するSDEのクラスを導入し、電導に基づく神経系をモデル化する。
• 伊藤およびストラトニビッチ微積分を用いて、確率的フローおよびヤコビ行列の動的を導出し、フローのヤコビ行列の逆行列性を保証する。
• ドリフトおよび拡散係数の有界な空間時間微分を用いて、逆フローおよび反復導関数のモーメントバウンドを確立する。
• Bismut-Elworthy-Li型の公式からの推定値を適応し、局所的ホルマンダー条件（LWH）下で、局所的強楕円性がなくても密度の下界を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強力に退化した時非一様SDEが非リプシッツ係数を有する場合、どのような条件下で連続的遷移密度が存在するか？
• RQ2 状態空間のどの領域でこれらの密度が厳密に正となるのか、特に均衡点または周期軌道の近傍でか？
• RQ3 局所的強楕円性や強いホルマンダー条件が欠如する系においても、弱いホルマンダー条件を用いて密度の存在を証明できるか？
• RQ4 周期的入力を有する5次元の確率的ホジキン＝ハクスリー・モデルはLebesgue密度を有するか？また、安定な状態の近傍で正であるか？
• RQ5 理論的密度結果をどのようにして、電導に基づく神経系モデルにおけるエルゴード性および長期的挙動の推論に応用できるか？

主な発見

• 局所的ホルマンダー条件が満たされる近傍では、局所的強楕円性やグローバルリプシッツ連続性がなくても、研究対象のSDEクラスに対して連続的遷移密度が存在する。
• 密度は、対応する決定的系の安定な均衡点または安定な周期軌道の周囲の領域で厳密に正である。
• 周期的入力を有する5次元の確率的ホジキン＝ハクスリー・モデルはLebesgue密度を有し、安定な均衡点または周期軌道の近傍で正である。
• Malliavin行列および逆フローに対する理論的バウンドにより、密度の下界が $ O(t^{-m k_N}) $ のように振る舞うことが保証され、$ k_N > 0 $ はLWH条件に依存する。
• 結果は時非一様性に対してロバストであり、1次元のノイズが最初のおよび最後の成分にのみ作用する系にも適用可能である。
• このフレームワークにより、神経科学的モデルにおける将来的な統計的推論およびエルゴード性解析が可能となり、特にMANDyプロジェクトの目的に貢献する。